Страница 77, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

6. Сумма двух взаимно обратных обыкновенных дробей равна $\frac{29}{10}$.

Числитель первой дроби на 3 меньше её знаменателя. Найдите эти дроби.

Пусть знаменатель первой дроби равен $x$. Согласно условию, её числитель на 3 меньше знаменателя, то есть равен $x-3$. Таким образом, первая дробь — это $\frac{x-3}{x}$.

Вторая дробь является взаимно обратной к первой, значит, она равна $\frac{x}{x-3}$.

Сумма этих двух дробей по условию равна $\frac{29}{10}$. Составим уравнение:

$\frac{x-3}{x} + \frac{x}{x-3} = \frac{29}{10}$

Для решения уравнения необходимо, чтобы знаменатели не были равны нулю, то есть $x \neq 0$ и $x \neq 3$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x-3)$:

$\frac{(x-3)(x-3) + x \cdot x}{x(x-3)} = \frac{29}{10}$

Раскроем скобки в числителе и знаменателе левой части:

$\frac{x^2 - 6x + 9 + x^2}{x^2 - 3x} = \frac{29}{10}$

$\frac{2x^2 - 6x + 9}{x^2 - 3x} = \frac{29}{10}$

Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:

$10(2x^2 - 6x + 9) = 29(x^2 - 3x)$

$20x^2 - 60x + 90 = 29x^2 - 87x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$29x^2 - 20x^2 - 87x + 60x - 90 = 0$

$9x^2 - 27x - 90 = 0$

Разделим обе части уравнения на 9 для упрощения:

$x^2 - 3x - 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти корни через дискриминант. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 7}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 7}{2} = -2$

Оба корня удовлетворяют условиям $x \neq 0$ и $x \neq 3$. Теперь найдем сами дроби для каждого из случаев.

1. Если $x = 5$ (знаменатель первой дроби):

Первая дробь: $\frac{x-3}{x} = \frac{5-3}{5} = \frac{2}{5}$.

Вторая дробь (обратная): $\frac{5}{2}$.

2. Если $x = -2$ (знаменатель первой дроби):

Первая дробь: $\frac{x-3}{x} = \frac{-2-3}{-2} = \frac{-5}{-2} = \frac{5}{2}$.

Вторая дробь (обратная): $\frac{2}{5}$.

В обоих случаях мы получили одну и ту же пару дробей: $\frac{2}{5}$ и $\frac{5}{2}$.

Ответ: искомые дроби — $\frac{2}{5}$ и $\frac{5}{2}$.

7. Два экскаватора, работая совместно, вырыли котлован для водоёма за 6 дней. Сколько дней потребовалось бы на рытьё котлована каждому экскаватору в отдельности, если один из них мог выполнить эту работу на 5 дней быстрее другого?

Решение. Заполним таблицу:

Работа, ед. Производительность, ед./дней Время, дней

Первый экскаватор 1 $1/x$ $x$

Второй экскаватор 1 $1/(x+5)$ $x+5$

Вместе 1 $1/6$ 6

По условию задачи экскаваторы вместе вырыли котлован за 6 дней, то есть выполнили всю работу.

Составим и решим уравнение:

Обозначим всю работу по рытью котлована за 1 единицу. Пусть время, за которое первый (более быстрый) экскаватор может вырыть котлован самостоятельно, равно $x$ дней. Тогда его производительность составляет $\frac{1}{x}$ работы в день. По условию, второй экскаватор выполняет эту же работу на 5 дней дольше, то есть за $x+5$ дней. Его производительность, соответственно, равна $\frac{1}{x+5}$ работы в день. Работая вместе, они выполняют всю работу за 6 дней, значит, их совместная производительность составляет $\frac{1}{6}$ работы в день.

Заполним таблицу:

Составим и решим уравнение:

Совместная производительность равна сумме производительностей каждого экскаватора:

$ \frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{1}{6} $

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $x(x+5)$:

$ \frac{x+5+x}{x(x+5)} = \frac{1}{6} $

$ \frac{2x+5}{x^2+5x} = \frac{1}{6} $

Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получим:

$ 6(2x+5) = 1(x^2+5x) $

$ 12x + 30 = x^2 + 5x $

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$ x^2 + 5x - 12x - 30 = 0 $

$ x^2 - 7x - 30 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$ D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 $

Найдем корни уравнения:

$ x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10 $

$ x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 13}{2} = \frac{-6}{2} = -3 $

Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию задачи, так как время не может быть отрицательной величиной. Следовательно, время, необходимое первому экскаватору для выполнения работы, составляет 10 дней.

Тогда время, необходимое второму экскаватору, равно $x + 5 = 10 + 5 = 15$ дней.

Ответ: первому экскаватору потребовалось бы 10 дней, а второму — 15 дней.

12. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} x - y = 2 \\ 3x - 2y = 9 \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x - 5y = 9 \\ 5x + 3y = 7 \end{cases}$

Ответ: а) ............................

б) ............................

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x - y = 2 \\ 3x - 2y = 9 \end{cases} $$

Для решения этой системы удобно применить метод подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $x$ через $y$:

$x = 2 + y$

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$3(2 + y) - 2y = 9$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$6 + 3y - 2y = 9$

$6 + y = 9$

Теперь найдем значение $y$:

$y = 9 - 6$

$y = 3$

Чтобы найти значение $x$, подставим найденное значение $y=3$ в выражение $x = 2 + y$:

$x = 2 + 3$

$x = 5$

Проверим решение, подставив значения $x=5$ и $y=3$ в исходную систему:

$5 - 3 = 2$ (верно)

$3 \cdot 5 - 2 \cdot 3 = 15 - 6 = 9$ (верно)

Следовательно, решением системы является пара чисел $(5; 3)$.

Ответ: $(5; 3)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2x - 5y = 9 \\ 5x + 3y = 7 \end{cases} $$

Для решения этой системы используем метод алгебраического сложения. Чтобы исключить переменную $y$, умножим первое уравнение на 3, а второе на 5. Это позволит получить противоположные коэффициенты при $y$:

$ (2x - 5y = 9) \cdot 3 \implies 6x - 15y = 27 $

$ (5x + 3y = 7) \cdot 5 \implies 25x + 15y = 35 $

Получаем новую, эквивалентную систему:

$$ \begin{cases} 6x - 15y = 27 \\ 25x + 15y = 35 \end{cases} $$

Сложим левые и правые части уравнений этой системы:

$(6x - 15y) + (25x + 15y) = 27 + 35$

$31x = 62$

Отсюда найдем значение $x$:

$x = \frac{62}{31}$

$x = 2$

Подставим найденное значение $x=2$ в любое из исходных уравнений, например, в первое $2x - 5y = 9$:

$2(2) - 5y = 9$

$4 - 5y = 9$

$-5y = 9 - 4$

$-5y = 5$

$y = \frac{5}{-5}$

$y = -1$

Проверим решение, подставив значения $x=2$ и $y=-1$ в исходную систему:

$2(2) - 5(-1) = 4 + 5 = 9$ (верно)

$5(2) + 3(-1) = 10 - 3 = 7$ (верно)

Следовательно, решением системы является пара чисел $(2; -1)$.

Ответ: $(2; -1)$.

13. Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases} x - y = 1 \\ xy = 6 \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 - y^2 = 5 \\ x + y = -1 \end{cases}$

17. Парабола $y = ax^2 + c$ проходит через точки $A(-1; -1)$ и $B(3; -5)$.

..................

..................

..................

..................

..................

..................

Ответ: a) ................... б) ...................

а) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 1, \\ xy = 6. \end{cases} $

Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = 1 + y$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(1 + y)y = 6$

Раскроем скобки и получим квадратное уравнение:

$y + y^2 = 6$

$y^2 + y - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

Корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого значения $y$, используя выражение $x = 1 + y$:

1. Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 1 + 2 = 3$. Получаем пару решений $(3; 2)$.

2. Если $y_2 = -3$, то $x_2 = 1 + (-3) = -2$. Получаем пару решений $(-2; -3)$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(3; 2)$ и $(-2; -3)$.

б) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 5, \\ x + y = -1. \end{cases} $

Воспользуемся формулой разности квадратов для первого уравнения: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Тогда первое уравнение можно переписать в виде:

$(x - y)(x + y) = 5$

Из второго уравнения системы известно, что $x + y = -1$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$(x - y) \cdot (-1) = 5$

Отсюда находим выражение для $x - y$:

$x - y = -5$

Теперь у нас есть новая, более простая система линейных уравнений:

$ \begin{cases} x + y = -1, \\ x - y = -5. \end{cases} $

Решим эту систему методом алгебраического сложения. Сложим левые и правые части обоих уравнений:

$(x + y) + (x - y) = -1 + (-5)$

$2x = -6$

$x = -3$

Подставим найденное значение $x$ в уравнение $x + y = -1$:

$-3 + y = -1$

$y = -1 + 3$

$y = 2$

Таким образом, решение системы — это пара чисел $(-3; 2)$.

Ответ: $(-3; 2)$.