Страница 75, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

3. Турист проплыл на байдарке 14 км по течению реки и 15 км против течения, затратив на всё путешествие столько же времени, сколько ему понадобилось бы, чтобы проплыть в стоячей воде 30 км. Зная, что скорость течения реки равна 1 км/ч, найдите скорость байдарки в стоячей воде.

Решение. Заполним таблицу:

По условию задачи турист затратил на всё путешествие столько же времени, сколько ему понадобилось бы, чтобы проплыть в стоячей воде.

Составим и решим уравнение:

Решение.

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость байдарки, то есть её скорость в стоячей воде. По условию, скорость течения реки равна 1 км/ч. Тогда скорость байдарки по течению реки будет $(x+1)$ км/ч, а скорость против течения реки — $(x-1)$ км/ч. При этом, чтобы байдарка могла плыть против течения, её собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x > 1$.

Систематизируем данные в таблице, используя формулу времени $t = \frac{s}{v}$ (время = расстояние / скорость).

По условию задачи турист затратил на всё путешествие (14 км по течению и 15 км против течения) столько же времени, сколько ему понадобилось бы, чтобы проплыть 30 км в стоячей воде.

Общее время путешествия по реке складывается из времени движения по течению и времени движения против течения: $(\frac{14}{x+1} + \frac{15}{x-1})$ часов. Время движения в стоячей воде равно $\frac{30}{x}$ часов.

Составим и решим уравнение:

Приравняем время, затраченное на путешествие по реке, ко времени движения в стоячей воде:

$\frac{14}{x+1} + \frac{15}{x-1} = \frac{30}{x}$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x+1)(x-1)$:

$\frac{14(x-1) + 15(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{30}{x}$

Раскроем скобки и упростим числитель в левой части:

$\frac{14x - 14 + 15x + 15}{x^2 - 1} = \frac{30}{x}$

$\frac{29x + 1}{x^2 - 1} = \frac{30}{x}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение), учитывая, что $x>1$:

$x(29x + 1) = 30(x^2 - 1)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$29x^2 + x = 30x^2 - 30$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$30x^2 - 29x^2 - x - 30 = 0$

$x^2 - x - 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение равно -30. Легко подобрать корни:

$x_1 = 6$

$x_2 = -5$

Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет условию задачи, так как скорость не может быть отрицательной величиной. Кроме того, он не удовлетворяет ограничению $x>1$.

Следовательно, единственное подходящее решение — $x=6$.

Таким образом, скорость байдарки в стоячей воде равна 6 км/ч.

Ответ: 6 км/ч.

10. Решите графически уравнение:

a) $x^3 = -x + 2$;

x

y

x

y

a)

y

1

0

1

x

б) $x^2 - 1 = \frac{6}{x}$

x

y

x

y

б)

y

1

0

1

x

Ответ: a) .........................

б) .........................

Для графического решения уравнения построим в одной системе координат графики двух функций: $y = x^3$ и $y = -x + 2$. Решением уравнения будет абсцисса точки пересечения этих графиков.

1. Построим график функции $y = x^3$ (кубическая парабола). Составим таблицу значений:

2. Построим график функции $y = -x + 2$ (прямая линия). Для построения прямой достаточно двух точек. Составим таблицу значений:

3. Построим оба графика на координатной плоскости.

Графики пересекаются в одной точке с координатами $(1, 1)$. Абсцисса этой точки равна 1.

Проверка: $1^3 = -1 + 2 \implies 1 = 1$. Равенство верное.

Ответ: $x=1$

Для графического решения уравнения построим в одной системе координат графики двух функций: $y = x^2 - 1$ и $y = \frac{6}{x}$. Решением уравнения будет абсцисса точки пересечения этих графиков. Область допустимых значений: $x \neq 0$.

1. Построим график функции $y = x^2 - 1$ (парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $(0, -1)$). Составим таблицу значений:

2. Построим график функции $y = \frac{6}{x}$ (гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях). Составим таблицу значений:

3. Построим оба графика на координатной плоскости.

Графики пересекаются в одной точке. Из таблиц значений и с графика видно, что это точка с координатами $(2, 3)$. Абсцисса этой точки равна 2.

Проверка: $2^2 - 1 = \frac{6}{2} \implies 4-1=3 \implies 3=3$. Равенство верное.

Ответ: $x=2$