Страница 70, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

11. Решите уравнение, используя введение новой переменной

$12\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) = 56\left(x + \frac{1}{x}\right) - 89.$

Данное уравнение является симметрическим (возвратным). Его вид:

$$12\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) = 56\left(x + \frac{1}{x}\right) - 89$$

Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ определяется условием $x \neq 0$.

Для решения введем новую переменную, как предложено в условии. Пусть $t = x + \frac{1}{x}$.

Чтобы выразить $x^2 + \frac{1}{x^2}$ через $t$, возведем замену в квадрат:

$$t^2 = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$$

Из этого соотношения следует, что $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.

Теперь подставим выражения с новой переменной $t$ в исходное уравнение:

$$12(t^2 - 2) = 56t - 89$$

Мы получили квадратное уравнение относительно $t$. Решим его. Сначала раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть:

$$12t^2 - 24 = 56t - 89$$

$$12t^2 - 56t - 24 + 89 = 0$$

$$12t^2 - 56t + 65 = 0$$

Для нахождения корней этого уравнения вычислим дискриминант $D$:

$$D = b^2 - 4ac = (-56)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 65 = 3136 - 3120 = 16$$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле корней квадратного уравнения:

$$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{56 + \sqrt{16}}{2 \cdot 12} = \frac{56 + 4}{24} = \frac{60}{24} = \frac{5}{2}$$

$$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{56 - \sqrt{16}}{2 \cdot 12} = \frac{56 - 4}{24} = \frac{52}{24} = \frac{13}{6}$$

Теперь необходимо выполнить обратную замену для каждого из найденных значений $t$.

Случай 1: $t = \frac{5}{2}$.

Возвращаемся к переменной $x$:

$$x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}$$

Умножим обе части на $2x$ (так как $x \neq 0$), чтобы избавиться от знаменателей:

$$2x^2 + 2 = 5x$$

$$2x^2 - 5x + 2 = 0$$

Решаем полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D_1 = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

Корни:

$$x_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{4} = \frac{5 + 3}{4} = 2$$

$$x_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{4} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}$$

Случай 2: $t = \frac{13}{6}$.

Возвращаемся к переменной $x$:

$$x + \frac{1}{x} = \frac{13}{6}$$

Умножим обе части на $6x$ (так как $x \neq 0$):

$$6x^2 + 6 = 13x$$

$$6x^2 - 13x + 6 = 0$$

Решаем полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D_2 = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 169 - 144 = 25$.

Корни:

$$x_3 = \frac{13 + \sqrt{25}}{12} = \frac{13 + 5}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$$

$$x_4 = \frac{13 - \sqrt{25}}{12} = \frac{13 - 5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$$

Объединяя все найденные значения, получаем четыре корня исходного уравнения.

Ответ: $2; \frac{1}{2}; \frac{3}{2}; \frac{2}{3}$.

12. Решите уравнение $3x - \frac{3}{x} = x^3 - \frac{1}{x^3}$, используя разложение на множители и введение новой переменной.

Дано уравнение: $3x - \frac{3}{x} = x^3 - \frac{1}{x^3}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием $x \neq 0$, так как в знаменателях дробей стоит переменная.

Для решения перенесем все слагаемые в одну сторону и сгруппируем их. Перенесем члены из левой части в правую:

$x^3 - \frac{1}{x^3} - (3x - \frac{3}{x}) = 0$

Вынесем общий множитель 3 за скобки во второй группе слагаемых. Этот шаг является частью разложения на множители, как указано в условии:

$(x^3 - \frac{1}{x^3}) - 3(x - \frac{1}{x}) = 0$

Теперь, как и требуется в задании, введем новую переменную. Заметим, что в уравнении повторяется выражение $x - \frac{1}{x}$.

Пусть $t = x - \frac{1}{x}$.

Далее выразим слагаемое $(x^3 - \frac{1}{x^3})$ через новую переменную $t$. Для этого воспользуемся формулой куба разности: $(a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b)$. Отсюда следует, что $a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)$.

Подставим в эту формулу $a = x$ и $b = \frac{1}{x}$:

$x^3 - \frac{1}{x^3} = (x - \frac{1}{x})^3 + 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \cdot (x - \frac{1}{x})$

Используя замену $t = x - \frac{1}{x}$, получаем:

$x^3 - \frac{1}{x^3} = t^3 + 3t$

Теперь подставим полученные выражения в преобразованное уравнение $(x^3 - \frac{1}{x^3}) - 3(x - \frac{1}{x}) = 0$:

$(t^3 + 3t) - 3(t) = 0$

Раскрываем скобки и упрощаем:

$t^3 + 3t - 3t = 0$

$t^3 = 0$

Отсюда получаем единственное решение для $t$: $t = 0$.

Выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

$x - \frac{1}{x} = 0$

Умножим обе части уравнения на $x$ (мы помним, что $x \neq 0$):

$x^2 - 1 = 0$

$x^2 = 1$

Из этого уравнения получаем два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Оба корня входят в область допустимых значений. Проверка показывает, что оба корня верны. Для $x=1$ получаем $3-3=1-1 \implies 0=0$, для $x=-1$ получаем $-3+3=-1+1 \implies 0=0$.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -1$.

3. Решите уравнение:

а) $\frac{2x + 5}{x^2 + x} - \frac{2}{x} - \frac{3x}{x + 1} = 0;$

б) $\frac{x}{x - 3} + \frac{18}{x^2 - 9} = \frac{x}{x + 3};$

в) $\frac{2}{x^2 + 10x + 25} - \frac{10}{25 - x^2} = \frac{1}{x - 5};$

г) $\frac{15}{x^2 - 4x - 5} + \frac{9}{5x - x^2} = \frac{5}{x^2 - 1}.$

а) Решим уравнение $\frac{2x+5}{x^2+x} - \frac{2}{x} - \frac{3x}{x+1} = 0$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны быть равны нулю.
$x^2+x = x(x+1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$ и $x \neq -1$.
$x \neq 0$.
$x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; +\infty)$.

Приведем все дроби к общему знаменателю $x(x+1)$:
$\frac{2x+5}{x(x+1)} - \frac{2(x+1)}{x(x+1)} - \frac{3x \cdot x}{x(x+1)} = 0$

Теперь мы можем записать уравнение для числителя, так как дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю (что учтено в ОДЗ):
$(2x+5) - 2(x+1) - 3x^2 = 0$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$2x + 5 - 2x - 2 - 3x^2 = 0$
$-3x^2 + 3 = 0$
$3x^2 = 3$
$x^2 = 1$
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ.
Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условиям ОДЗ.
Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию ОДЗ ($x \neq -1$), поэтому он является посторонним.

Ответ: $1$

б) Решим уравнение $\frac{x}{x-3} + \frac{18}{x^2-9} = \frac{x}{x+3}$.

ОДЗ: знаменатели не равны нулю.
$x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$.
$x^2-9 = (x-3)(x+3) \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$ и $x \neq -3$.
$x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$.
ОДЗ: $x \neq \pm 3$.

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю $(x-3)(x+3)$:
$\frac{x}{x-3} + \frac{18}{(x-3)(x+3)} - \frac{x}{x+3} = 0$
$\frac{x(x+3)}{(x-3)(x+3)} + \frac{18}{(x-3)(x+3)} - \frac{x(x-3)}{(x-3)(x+3)} = 0$

Приравняем числитель к нулю:
$x(x+3) + 18 - x(x-3) = 0$
$x^2 + 3x + 18 - x^2 + 3x = 0$
$6x + 18 = 0$
$6x = -18$
$x = -3$

Проверим корень по ОДЗ. Найденный корень $x = -3$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq -3$), следовательно, он является посторонним.

Ответ: корней нет

в) Решим уравнение $\frac{2}{x^2+10x+25} - \frac{10}{25-x^2} = \frac{1}{x-5}$.

Разложим знаменатели на множители и найдем ОДЗ:
$x^2+10x+25 = (x+5)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -5$.
$25-x^2 = (5-x)(5+x) = -(x-5)(x+5) \neq 0 \Rightarrow x \neq 5$ и $x \neq -5$.
$x-5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5$.
ОДЗ: $x \neq \pm 5$.

Преобразуем уравнение, учитывая разложение знаменателей:
$\frac{2}{(x+5)^2} - \frac{10}{-(x-5)(x+5)} = \frac{1}{x-5}$
$\frac{2}{(x+5)^2} + \frac{10}{(x-5)(x+5)} - \frac{1}{x-5} = 0$

Общий знаменатель: $(x+5)^2(x-5)$. Приводим к общему знаменателю:
$\frac{2(x-5) + 10(x+5) - 1(x+5)^2}{(x+5)^2(x-5)} = 0$

Решаем уравнение для числителя:
$2(x-5) + 10(x+5) - (x^2+10x+25) = 0$
$2x - 10 + 10x + 50 - x^2 - 10x - 25 = 0$
$-x^2 + 2x + 15 = 0$
$x^2 - 2x - 15 = 0$
По теореме Виета: $x_1+x_2=2$, $x_1 \cdot x_2=-15$. Корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = -3$.

Проверяем корни по ОДЗ ($x \neq \pm 5$).
Корень $x_1 = 5$ не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним.
Корень $x_2 = -3$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-3$

г) Решим уравнение $\frac{15}{x^2-4x-5} + \frac{9}{5x-x^2} = \frac{5}{x^2-1}$.

Разложим знаменатели на множители и найдем ОДЗ:
$x^2-4x-5 = (x-5)(x+1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 5$ и $x \neq -1$.
$5x-x^2 = x(5-x) = -x(x-5) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$ и $x \neq 5$.
$x^2-1 = (x-1)(x+1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$ и $x \neq -1$.
ОДЗ: $x \neq -1, x \neq 0, x \neq 1, x \neq 5$.

Перепишем уравнение и перенесем все члены влево:
$\frac{15}{(x-5)(x+1)} - \frac{9}{x(x-5)} - \frac{5}{(x-1)(x+1)} = 0$

Общий знаменатель: $x(x-1)(x+1)(x-5)$. Приводим к общему знаменателю:
$\frac{15 \cdot x(x-1) - 9 \cdot (x-1)(x+1) - 5 \cdot x(x-5)}{x(x-1)(x+1)(x-5)} = 0$

Решаем уравнение для числителя:
$15x(x-1) - 9(x^2-1) - 5x(x-5) = 0$
$15x^2 - 15x - 9x^2 + 9 - 5x^2 + 25x = 0$
$(15-9-5)x^2 + (-15+25)x + 9 = 0$
$x^2 + 10x + 9 = 0$
По теореме Виета: $x_1+x_2=-10$, $x_1 \cdot x_2=9$. Корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -9$.

Проверяем корни по ОДЗ ($x \neq -1, 0, 1, 5$).
Корень $x_1 = -1$ не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним.
Корень $x_2 = -9$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-9$