Страница 63, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

15. Составьте какое-либо уравнение вида $P(x)=0$, где $P(x)$ — многочлен стандартного вида пятой степени, если известно, что множеством его корней является множество $A=\{-3, -2, 1, 2, 3\}$.

По условию, нам нужно составить уравнение $P(x)=0$, где $P(x)$ — многочлен пятой степени, а множество его корней — это $A=\{-3, -2, 1, 2, 3\}$.

Если число $c$ является корнем многочлена, то $(x-c)$ является его множителем (согласно теореме Безу). Поскольку нам даны все пять корней многочлена пятой степени, мы можем записать его в виде произведения соответствующих линейных множителей.

Корни многочлена: $x_1 = -3$, $x_2 = -2$, $x_3 = 1$, $x_4 = 2$, $x_5 = 3$.

Следовательно, многочлен $P(x)$ можно представить в виде: $P(x) = k \cdot (x - (-3)) \cdot (x - (-2)) \cdot (x - 1) \cdot (x - 2) \cdot (x - 3)$, где $k$ — ненулевой коэффициент.

$P(x) = k \cdot (x+3)(x+2)(x-1)(x-2)(x-3)$

Поскольку в задании просят составить «какое-либо» уравнение, мы можем выбрать самый простой вариант, положив старший коэффициент $k=1$. $P(x) = (x+3)(x+2)(x-1)(x-2)(x-3)$.

Чтобы привести многочлен к стандартному виду, необходимо раскрыть скобки. Для удобства вычислений сгруппируем множители, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$: $P(x) = [(x+3)(x-3)] \cdot [(x+2)(x-2)] \cdot (x-1)$

Вычисляем произведения в скобках: $(x+3)(x-3) = x^2 - 9$
$(x+2)(x-2) = x^2 - 4$

Подставляем обратно в выражение для $P(x)$: $P(x) = (x^2 - 9)(x^2 - 4)(x-1)$

Перемножаем первые два многочлена: $(x^2 - 9)(x^2 - 4) = x^2 \cdot x^2 - 4x^2 - 9x^2 + (-9)(-4) = x^4 - 13x^2 + 36$

Теперь умножим полученный результат на $(x-1)$: $P(x) = (x^4 - 13x^2 + 36)(x-1)$ $P(x) = x \cdot (x^4 - 13x^2 + 36) - 1 \cdot (x^4 - 13x^2 + 36)$ $P(x) = x^5 - 13x^3 + 36x - x^4 + 13x^2 - 36$

Запишем многочлен в стандартном виде, расположив его члены в порядке убывания степеней переменной $x$: $P(x) = x^5 - x^4 - 13x^3 + 13x^2 + 36x - 36$

Искомое уравнение $P(x)=0$ имеет вид: $x^5 - x^4 - 13x^3 + 13x^2 + 36x - 36 = 0$.

Ответ: $x^5 - x^4 - 13x^3 + 13x^2 + 36x - 36 = 0$.

16. С помощью графика функции $y = x^3$ решите уравнение $x^3 - (x - 1,5)^2 = 0.$

x

y

2,0

Ответ: ....................

y

x

$y = x^3$

Для решения уравнения $x^3 - (x - 1.5)^2 = 0$ графическим методом, необходимо преобразовать его к виду, где левая и правая части представляют собой две отдельные функции. Перенесем слагаемое $(x - 1.5)^2$ в правую часть уравнения:

$x^3 = (x - 1.5)^2$

Теперь задача сводится к нахождению абсциссы (координаты $x$) точки пересечения графиков двух функций: $y = x^3$ и $y = (x - 1.5)^2$.

График функции $y = x^3$ уже построен на координатной плоскости.

Для нахождения решения нам необходимо на этой же плоскости построить график функции $y = (x - 1.5)^2$. Этот график является параболой, которая получена сдвигом стандартной параболы $y = x^2$ на 1.5 единицы вправо вдоль оси абсцисс. Вершина параболы находится в точке $(1.5; 0)$, а её ветви направлены вверх. Для более точного построения найдем координаты нескольких точек, принадлежащих параболе, и занесем их в таблицу.

Построив параболу на той же координатной плоскости, мы ищем абсциссу точки пересечения двух графиков. Из графика видно, что пересечение происходит в одной точке. Визуальная оценка положения этой точки на оси $x$ дает приблизительное значение. Можно заметить, что при $x=1$ значение кубической функции равно $1^3=1$, а значение параболы — $(1-1.5)^2=0.25$. То есть при $x=1$ график $y=x^3$ находится выше параболы. При $x=0.5$ кубическая функция равна $0.5^3=0.125$, а парабола — $(0.5-1.5)^2=1$. Здесь парабола выше. Следовательно, точка пересечения находится в интервале от 0.5 до 1. Наиболее близким и удобным для считывания с графика значением является $x \approx 0.8$.

Ответ: $x \approx 0.8$

17. Найдите координаты точек пересечения графика функции $y = 2ax^3 + 3x^2 - 4x - 12$ с осью $x$, если известно, что одной из них является точка $(-2; 0)$.

$y=x^3$

По условию задачи, график функции $y = 2ax^3 + 3x^2 - 4x - 12$ пересекает ось $x$ в точке с координатами $(-2; 0)$. Это значит, что если подставить значения $x = -2$ и $y = 0$ в уравнение функции, мы получим верное равенство. Используем это, чтобы найти неизвестный коэффициент $a$.

Подставляем $x = -2$ и $y = 0$:
$0 = 2a(-2)^3 + 3(-2)^2 - 4(-2) - 12$

Выполняем вычисления:
$0 = 2a(-8) + 3(4) + 8 - 12$
$0 = -16a + 12 + 8 - 12$
$0 = -16a + 8$

Решаем уравнение относительно $a$:
$16a = 8$
$a = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

Теперь, когда значение $a$ найдено, подставим его в исходное уравнение функции:

$y = 2\left(\frac{1}{2}\right)x^3 + 3x^2 - 4x - 12$
$y = x^3 + 3x^2 - 4x - 12$

Чтобы найти все точки пересечения графика с осью $x$, необходимо решить уравнение $y = 0$:

$x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = 0$

Для решения этого кубического уравнения воспользуемся методом группировки слагаемых:

$(x^3 + 3x^2) - (4x + 12) = 0$

Выносим общие множители из каждой группы:

$x^2(x + 3) - 4(x + 3) = 0$

Теперь выносим общий множитель $(x + 3)$ за скобки:

$(x + 3)(x^2 - 4) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два уравнения:

1) $x + 3 = 0 \implies x_1 = -3$

2) $x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x_{2,3} = \pm\sqrt{4} \implies x_2 = 2, x_3 = -2$

Мы нашли три абсциссы точек пересечения: $x = -3$, $x = -2$ и $x = 2$. Ординаты всех точек пересечения с осью $x$ равны 0.

Следовательно, координаты точек пересечения графика функции с осью $x$: $(-3; 0)$, $(-2; 0)$ и $(2; 0)$.

Ответ: $(-3; 0)$, $(-2; 0)$, $(2; 0)$.

2. Разложите на множители:

а) $25x^2 - 81y^2 =$

б) $2a^3 - 2a =$

в) $a^2 + 2ab + b^2 - 4 =$

г) $a^3 - a^2b - ab^2 + b^3 =$

д) $64x^3 - 1 =$

е) $(2x - 1)^3 + 1 =$

а)

Данное выражение $25x^2 - 81y^2$ представляет собой разность квадратов. Представим каждый член в виде квадрата:

$25x^2 = (5x)^2$

$81y^2 = (9y)^2$

Теперь выражение выглядит так: $(5x)^2 - (9y)^2$.

Воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = 5x$ и $B = 9y$.

Подставив наши значения, получаем: $(5x - 9y)(5x + 9y)$.

Ответ: $(5x - 9y)(5x + 9y)$

б)

В выражении $2a^3 - 2a$ первым шагом вынесем за скобки общий множитель $2a$.

$2a^3 - 2a = 2a(a^2 - 1)$

Выражение в скобках $a^2 - 1$ является разностью квадратов, так как $1$ можно представить как $1^2$.

Применяем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$ к выражению $a^2 - 1^2$:

$a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$

Таким образом, окончательное разложение на множители выглядит так: $2a(a - 1)(a + 1)$.

Ответ: $2a(a - 1)(a + 1)$

в)

Рассмотрим выражение $a^2 + 2ab + b^2 - 4$. Первые три слагаемых $a^2 + 2ab + b^2$ образуют полный квадрат суммы.

Воспользуемся формулой квадрата суммы $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.

$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$

Теперь исходное выражение можно переписать в виде: $(a + b)^2 - 4$.

Это разность квадратов, так как $4 = 2^2$. Получаем $(a + b)^2 - 2^2$.

Применяем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = (a + b)$ и $B = 2$.

$((a + b) - 2)((a + b) + 2) = (a + b - 2)(a + b + 2)$

Ответ: $(a + b - 2)(a + b + 2)$

г)

Для разложения выражения $a^3 - a^2b - ab^2 + b^3$ используем метод группировки.

Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое: $(a^3 - a^2b) + (-ab^2 + b^3)$.

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы выносим $a^2$, из второй $-b^2$:

$a^2(a - b) - b^2(a - b)$

Теперь вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки:

$(a - b)(a^2 - b^2)$

Выражение во второй скобке $a^2 - b^2$ само является разностью квадратов и раскладывается на $(a - b)(a + b)$.

Подставляем это разложение и получаем окончательный результат:

$(a - b)(a - b)(a + b) = (a - b)^2(a + b)$

Ответ: $(a - b)^2(a + b)$

д)

Выражение $64x^3 - 1$ является разностью кубов. Представим его в соответствующем виде:

$64x^3 = (4x)^3$

$1 = 1^3$

Выражение принимает вид: $(4x)^3 - 1^3$.

Используем формулу разности кубов $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$, где $A = 4x$ и $B = 1$.

Подставляем значения в формулу:

$(4x - 1)((4x)^2 + (4x)(1) + 1^2)$

Упрощаем вторую скобку:

$(4x - 1)(16x^2 + 4x + 1)$

Ответ: $(4x - 1)(16x^2 + 4x + 1)$

е)

Выражение $(2x - 1)^3 + 1$ представляет собой сумму кубов, так как $1 = 1^3$.

Воспользуемся формулой суммы кубов $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$, где $A = (2x - 1)$ и $B = 1$.

Подставляем в формулу:

$((2x - 1) + 1)((2x - 1)^2 - (2x - 1)(1) + 1^2)$

Упростим каждую скобку отдельно.

Первая скобка: $(2x - 1 + 1) = 2x$.

Вторая скобка: $(2x - 1)^2 - (2x - 1) + 1 = (4x^2 - 4x + 1) - 2x + 1 + 1 = 4x^2 - 4x - 2x + 1 + 1 + 1 = 4x^2 - 6x + 3$.

Перемножаем полученные выражения:

$2x(4x^2 - 6x + 3)$

Ответ: $2x(4x^2 - 6x + 3)$

3. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

a) $6x^2 + 7x - 3 = $..............................

б) $-3x^2 + 5x + 2 = $..............................

a) Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $6x^2 + 7x - 3$, мы используем формулу $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — это корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.
Сначала решим уравнение:
$6x^2 + 7x - 3 = 0$
Здесь коэффициенты: $a = 6$, $b = 7$, $c = -3$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-3) = 49 + 72 = 121$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$
$x_1 = \frac{-7 - 11}{2 \cdot 6} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2}$
$x_2 = \frac{-7 + 11}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$
Теперь подставим найденные корни в формулу разложения:
$6x^2 + 7x - 3 = 6 \left(x - \left(-\frac{3}{2}\right)\right) \left(x - \frac{1}{3}\right) = 6 \left(x + \frac{3}{2}\right) \left(x - \frac{1}{3}\right)$
Чтобы избавиться от дробей, распределим множитель $6$ (представив его как $2 \cdot 3$) по скобкам:
$6 \left(x + \frac{3}{2}\right) \left(x - \frac{1}{3}\right) = \left(2 \left(x + \frac{3}{2}\right)\right) \left(3 \left(x - \frac{1}{3}\right)\right) = (2x + 3)(3x - 1)$
Ответ: $(2x + 3)(3x - 1)$

б) Разложим на множители трехчлен $-3x^2 + 5x + 2$. Для этого найдем корни уравнения:
$-3x^2 + 5x + 2 = 0$
Коэффициенты: $a = -3$, $b = 5$, $c = 2$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 2 = 25 + 24 = 49$
$\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 7}{2 \cdot (-3)} = \frac{-12}{-6} = 2$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 7}{2 \cdot (-3)} = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3}$
Подставим корни в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$:
$-3x^2 + 5x + 2 = -3(x - 2)\left(x - \left(-\frac{1}{3}\right)\right) = -3(x - 2)\left(x + \frac{1}{3}\right)$
Внесем множитель $-3$ во вторую скобку, чтобы убрать дробь:
$-3(x - 2)\left(x + \frac{1}{3}\right) = (x - 2) \cdot \left(-3 \cdot \left(x + \frac{1}{3}\right)\right) = (x - 2)(-3x - 1)$
Для более удобной записи можно вынести знак минус из второй скобки и внести его в первую:
$-(x - 2)(3x + 1) = (2 - x)(3x + 1)$
Ответ: $(2 - x)(3x + 1)$

4. Сократите дробь:

а) $ \frac{a^2 - ab}{b^2 - ab} = $

б) $ \frac{3x^2 - 15xy}{10y^2 - 2xy} = $

в) $ \frac{(a - b)^2}{2b^2 - 2a^2} = $

г) $ \frac{x^3 + 2x^2y + xy^2}{x^3 - xy^2} = $

а) Чтобы сократить дробь $\frac{a^2 - ab}{b^2 - ab}$, разложим её числитель и знаменатель на множители.

1. В числителе вынесем общий множитель a за скобки: $a^2 - ab = a(a - b)$.

2. В знаменателе вынесем общий множитель b за скобки: $b^2 - ab = b(b - a)$.

После разложения на множители дробь примет вид: $\frac{a(a - b)}{b(b - a)}$.

3. Заметим, что выражения $(a - b)$ и $(b - a)$ являются противоположными, то есть $b - a = -(a - b)$. Подставим это в знаменатель:

$\frac{a(a - b)}{b(-(a - b))}$

4. Сократим общий множитель $(a - b)$ при условии, что $a \neq b$:

$\frac{a}{-b} = -\frac{a}{b}$

Ответ: $-\frac{a}{b}$

б) Рассмотрим дробь $\frac{3x^2 - 15xy}{10y^2 - 2xy}$. Разложим числитель и знаменатель на множители.

1. В числителе вынесем за скобки общий множитель $3x$: $3x^2 - 15xy = 3x(x - 5y)$.

2. В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $2y$: $10y^2 - 2xy = 2y(5y - x)$.

Дробь принимает вид: $\frac{3x(x - 5y)}{2y(5y - x)}$.

3. Выражения $(x - 5y)$ и $(5y - x)$ являются противоположными: $5y - x = -(x - 5y)$. Подставим это в знаменатель:

$\frac{3x(x - 5y)}{2y(-(x - 5y))}$

4. Сократим общий множитель $(x - 5y)$ при условии, что $x \neq 5y$:

$\frac{3x}{-2y} = -\frac{3x}{2y}$

Ответ: $-\frac{3x}{2y}$

в) Сократим дробь $\frac{(a - b)^2}{2b^2 - 2a^2}$.

1. Числитель уже разложен на множители: $(a - b)^2 = (a - b)(a - b)$.

2. Разложим знаменатель. Сначала вынесем общий множитель 2: $2(b^2 - a^2)$. Затем применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, получим: $2(b - a)(b + a)$.

Дробь примет вид: $\frac{(a - b)(a - b)}{2(b - a)(b + a)}$.

3. Заменим в знаменателе $(b - a)$ на $-(a - b)$:

$\frac{(a - b)(a - b)}{-2(a - b)(b + a)}$

4. Сократим общий множитель $(a - b)$ при $a \neq b$:

$\frac{a - b}{-2(b + a)} = -\frac{a - b}{2(a + b)}$

Ответ: $-\frac{a - b}{2(a + b)}$

г) Сократим дробь $\frac{x^3 + 2x^2y + xy^2}{x^3 - xy^2}$.

1. Разложим числитель. Вынесем общий множитель x: $x(x^2 + 2xy + y^2)$. Выражение в скобках является формулой квадрата суммы $(x+y)^2$. Таким образом, числитель равен $x(x + y)^2$.

2. Разложим знаменатель. Вынесем общий множитель x: $x(x^2 - y^2)$. Выражение в скобках является формулой разности квадратов $(x - y)(x + y)$. Таким образом, знаменатель равен $x(x - y)(x + y)$.

Дробь принимает вид: $\frac{x(x + y)^2}{x(x - y)(x + y)}$.

3. Сократим общие множители x (при $x \neq 0$) и $(x + y)$ (при $x \neq -y$):

$\frac{x(x + y)(x + y)}{x(x - y)(x + y)} = \frac{x + y}{x - y}$

Ответ: $\frac{x + y}{x - y}$