Страница 56, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

10. При каких значениях $a$ графики функций $y = 4x^2 - 3x + 1$ и $y = 2x^2 - x + 3a$ не имеют общих точек?

Графики функций не имеют общих точек, если система уравнений, составленная из этих функций, не имеет решений. Приравняем правые части уравнений функций, чтобы найти абсциссы возможных точек пересечения:

$4x^2 - 3x + 1 = 2x^2 - x + 3a$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $Ax^2 + Bx + C = 0$:

$(4x^2 - 2x^2) + (-3x + x) + (1 - 3a) = 0$

$2x^2 - 2x + (1 - 3a) = 0$

Данное квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ меньше нуля. Дискриминант вычисляется по формуле $D = B^2 - 4AC$.

Для нашего уравнения коэффициенты равны:

$A = 2$, $B = -2$, $C = 1 - 3a$

Найдем дискриминант:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - 3a) = 4 - 8(1 - 3a) = 4 - 8 + 24a = 24a - 4$

Теперь решим неравенство $D < 0$, чтобы найти значения $a$, при которых уравнение не имеет решений:

$24a - 4 < 0$

$24a < 4$

$a < \frac{4}{24}$

$a < \frac{1}{6}$

Таким образом, графики функций не имеют общих точек при значениях $a$, меньших $1/6$.

Ответ: $a \in (-\infty; \frac{1}{6})$

11. Определите по графику функции $y = ax^2 + bx + c$ знаки коэффициентов $a, b$ и $c$.

Ветви параболы направлены вверх, следовательно, $a > 0$. Так как $m = -\frac{b}{2a}$; $m > 0$ и $a > 0$, то $b < 0$. Так как при $x = 0$ $y = c$, а при $x = 0$ $y < 0$, то $c < 0$.

a) б) в)

Для определения знаков коэффициентов $a, b, c$ квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ по ее графику воспользуемся следующими свойствами:

• Знак коэффициента $a$ определяется направлением ветвей параболы: если ветви направлены вверх, то $a > 0$; если вниз, то $a < 0$.
• Знак коэффициента $c$ определяется точкой пересечения графика с осью ординат ($Oy$). Поскольку при $x=0$ значение функции $y = c$, то если точка пересечения лежит выше оси абсцисс ($Ox$), то $c > 0$; если ниже, то $c < 0$; если в начале координат, то $c = 0$.
• Знак коэффициента $b$ определяется положением вершины параболы. Абсцисса вершины параболы $x_0$ находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Из этой формулы можно выразить $b = -2ax_0$. Знак $b$ зависит от знаков $a$ и абсциссы вершины $x_0$.

1. Ветви параболы на графике направлены вниз, следовательно, старший коэффициент $a < 0$.
2. Парабола пересекает ось ординат ($Oy$) в точке с отрицательной ординатой (ниже оси $Ox$), следовательно, свободный член $c < 0$.
3. Вершина параболы находится в левой полуплоскости, значит, ее абсцисса $x_0 < 0$. Используем формулу $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Так как $a < 0$ и $x_0 < 0$, то чтобы равенство выполнялось, знак $b$ должен быть отрицательным. Проверим: $b = -2ax_0$. Подставляя знаки, получаем $b = -2 \cdot (\text{отрицательное}) \cdot (\text{отрицательное}) = \text{отрицательное}$. Таким образом, $b < 0$.

Ответ: $a < 0, b < 0, c < 0$.

1. Ветви параболы на графике направлены вверх, следовательно, старший коэффициент $a > 0$.
2. Парабола пересекает ось ординат ($Oy$) в точке с положительной ординатой (выше оси $Ox$), следовательно, свободный член $c > 0$.
3. Вершина параболы находится в левой полуплоскости, значит, ее абсцисса $x_0 < 0$. Используем формулу $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Так как $a > 0$ и $x_0 < 0$, то чтобы равенство выполнялось, знак $b$ должен быть положительным. Проверим: $b = -2ax_0$. Подставляя знаки, получаем $b = -2 \cdot (\text{положительное}) \cdot (\text{отрицательное}) = \text{положительное}$. Таким образом, $b > 0$.

Ответ: $a > 0, b > 0, c > 0$.

1. Ветви параболы на графике направлены вниз, следовательно, старший коэффициент $a < 0$.
2. Парабола пересекает ось ординат ($Oy$) в точке с положительной ординатой (выше оси $Ox$), следовательно, свободный член $c > 0$.
3. Вершина параболы находится в правой полуплоскости, значит, ее абсцисса $x_0 > 0$. Используем формулу $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Так как $a < 0$ и $x_0 > 0$, то чтобы равенство выполнялось, знак $b$ должен быть положительным. Проверим: $b = -2ax_0$. Подставляя знаки, получаем $b = -2 \cdot (\text{отрицательное}) \cdot (\text{положительное}) = \text{положительное}$. Таким образом, $b > 0$.

Ответ: $a < 0, b > 0, c > 0$.

3. Найдите значение выражения:

а) $2\frac{2}{9} : \left(-1\frac{1}{3}\right)^2 + 0.5 \cdot 0.6 = $

б) $\left(1.6^2 - 2.4 \cdot 1\frac{3}{5}\right) : 3\frac{1}{5} = $

в) $(0.2 \cdot 0.1 - 0.1) : 0.5 + 0.75 = $

а) $2\frac{2}{9} : \left(-1\frac{1}{3}\right)^2 + 0,5 \cdot 0,6$

Для решения этого выражения необходимо соблюдать порядок действий: сначала действия в скобках (возведение в степень), затем деление и умножение, и в конце сложение.

1. Возведем в степень число в скобках. Для этого сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$-1\frac{1}{3} = -\frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{4}{3}$

Теперь возведем в квадрат:

$\left(-\frac{4}{3}\right)^2 = \left(-\frac{4}{3}\right) \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{16}{9}$

2. Выполним деление. Также преобразуем смешанное число $2\frac{2}{9}$ в неправильную дробь:

$2\frac{2}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 2}{9} = \frac{20}{9}$

Теперь делим:

$\frac{20}{9} : \frac{16}{9} = \frac{20}{9} \cdot \frac{9}{16} = \frac{20 \cdot 9}{9 \cdot 16} = \frac{20}{16} = \frac{5}{4}$

Переведем результат в десятичную дробь: $\frac{5}{4} = 1,25$.

3. Выполним умножение:

$0,5 \cdot 0,6 = 0,3$

4. Выполним сложение результатов, полученных в шагах 2 и 3:

$1,25 + 0,3 = 1,55$

Ответ: 1,55.

б) $\left(1,6^2 - 2,4 \cdot 1\frac{3}{5}\right) : 3\frac{1}{5}$

Решим по действиям, для удобства вычислений переведем смешанные числа в десятичные дроби.

1. Вычислим значение выражения в скобках. Сначала возведем в степень:

$1,6^2 = 1,6 \cdot 1,6 = 2,56$

2. Переведем смешанное число $1\frac{3}{5}$ в десятичную дробь:

$1\frac{3}{5} = 1 + \frac{3}{5} = 1 + 0,6 = 1,6$

3. Выполним умножение в скобках:

$2,4 \cdot 1,6 = 3,84$

4. Выполним вычитание в скобках:

$2,56 - 3,84 = -1,28$

5. Теперь выполним деление. Переведем делитель $3\frac{1}{5}$ в десятичную дробь:

$3\frac{1}{5} = 3 + \frac{1}{5} = 3 + 0,2 = 3,2$

6. Выполним деление результата из скобок на делитель:

$-1,28 : 3,2 = -(1,28 : 3,2) = -(12,8 : 32) = -0,4$

Ответ: -0,4.

в) $(0,2 \cdot 0,1 - 0,1) : 0,5 + 0,75$

Решим по действиям, соблюдая их порядок: сначала действия в скобках (умножение, затем вычитание), потом деление и сложение.

1. Выполним умножение в скобках:

$0,2 \cdot 0,1 = 0,02$

2. Выполним вычитание в скобках:

$0,02 - 0,1 = -0,08$

3. Выполним деление. Деление на 0,5 равносильно умножению на 2:

$-0,08 : 0,5 = -0,08 \cdot 2 = -0,16$

4. Выполним сложение:

$-0,16 + 0,75 = 0,75 - 0,16 = 0,59$

Ответ: 0,59.

4. Найдите значение выражения:

a) $-0,2^3 \cdot 0,2^{-2} + 0,5^{-1} - 5^3 : 5 + 6,5^0 = \ldots$

б) $5^2 : 5^{-1} + (\sqrt{3})^0 - 4^2 \cdot 4^{-3} - \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = \ldots$

Ответ:

а)

Для нахождения значения выражения $-0,2^3 \cdot 0,2^{-2} + 0,5^{-1} - 5^3:5 + 6,5^0$ выполним действия по порядку, используя свойства степеней.

1. Вычислим произведение $-0,2^3 \cdot 0,2^{-2}$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$-0,2^3 \cdot 0,2^{-2} = -(0,2^{3 + (-2)}) = -0,2^1 = -0,2$.

2. Вычислим $0,5^{-1}$. Степень с отрицательным показателем равна обратному числу в положительной степени: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$0,5^{-1} = \frac{1}{0,5^1} = \frac{1}{0,5} = 2$.

3. Вычислим частное $5^3:5$. При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$5^3 : 5 = 5^3 : 5^1 = 5^{3-1} = 5^2 = 25$.

4. Вычислим $6,5^0$. Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице: $a^0 = 1$.
$6,5^0 = 1$.

5. Подставим полученные значения в исходное выражение и найдем результат:
$-0,2 + 2 - 25 + 1 = 1,8 - 25 + 1 = -23,2 + 1 = -22,2$.

Ответ: $-22,2$.

б)

Для нахождения значения выражения $5^2 : 5^{-1} + (\sqrt{3})^0 - 4^2 \cdot 4^{-3} - (\frac{1}{3})^{-2}$ также выполним действия по порядку.

1. Вычислим частное $5^2 : 5^{-1}$. Используем правило деления степеней: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$5^2 : 5^{-1} = 5^{2 - (-1)} = 5^{2+1} = 5^3 = 125$.

2. Вычислим $(\sqrt{3})^0$. Используем правило нулевой степени: $a^0=1$.
$(\sqrt{3})^0 = 1$.

3. Вычислим произведение $4^2 \cdot 4^{-3}$. Используем правило умножения степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$4^2 \cdot 4^{-3} = 4^{2+(-3)} = 4^{-1} = \frac{1}{4} = 0,25$.

4. Вычислим $(\frac{1}{3})^{-2}$. Для дроби в отрицательной степени: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
$(\frac{1}{3})^{-2} = (\frac{3}{1})^2 = 3^2 = 9$.

5. Подставим полученные значения в исходное выражение:
$125 + 1 - 0,25 - 9 = 126 - 9,25 = 116,75$.

Ответ: $116,75$.

5. Найдите значения выражений и расположите их в порядке возрастания:

a) $2/5 : 0,9$; $2/3 \cdot 7/8$; $0,5 - 5/6$

б) $-1,23 : 0,4$; $1,26 - 4\frac{2}{3}$; $-3,8 \cdot 0,92$

Ответ: a) Ответ: б)

Сначала найдем значение каждого выражения. Для удобства сравнения преобразуем все числа в дроби или десятичные дроби.

1. Первое выражение: $\frac{2}{5} \div 0,9$.
Преобразуем десятичную дробь $0,9$ в обыкновенную: $0,9 = \frac{9}{10}$.
Выполним деление: $\frac{2}{5} \div \frac{9}{10} = \frac{2}{5} \cdot \frac{10}{9} = \frac{2 \cdot 10}{5 \cdot 9} = \frac{20}{45}$.
Сократим дробь на 5: $\frac{20 \div 5}{45 \div 5} = \frac{4}{9}$.

2. Второе выражение: $\frac{2}{3} \cdot \frac{7}{8}$.
Выполним умножение: $\frac{2}{3} \cdot \frac{7}{8} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 8} = \frac{14}{24}$.
Сократим дробь на 2: $\frac{14 \div 2}{24 \div 2} = \frac{7}{12}$.

3. Третье выражение: $0,5 - \frac{5}{6}$.
Преобразуем $0,5$ в обыкновенную дробь: $0,5 = \frac{1}{2}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 6: $\frac{1}{2} - \frac{5}{6} = \frac{3}{6} - \frac{5}{6} = \frac{3-5}{6} = -\frac{2}{6}$.
Сократим дробь: $-\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$.

Теперь сравним полученные значения: $\frac{4}{9}$, $\frac{7}{12}$ и $-\frac{1}{3}$.
Число $-\frac{1}{3}$ является отрицательным, поэтому оно наименьшее.
Сравним положительные дроби $\frac{4}{9}$ и $\frac{7}{12}$. Приведем их к общему знаменателю 36:
$\frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{16}{36}$
$\frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{21}{36}$
Так как $16 < 21$, то $\frac{16}{36} < \frac{21}{36}$, следовательно, $\frac{4}{9} < \frac{7}{12}$.
Таким образом, значения в порядке возрастания: $-\frac{1}{3}$; $\frac{4}{9}$; $\frac{7}{12}$.
Соответствующие им исходные выражения: $0,5 - \frac{5}{6}$; $\frac{2}{5} \div 0,9$; $\frac{2}{3} \cdot \frac{7}{8}$.

Ответ: $0,5 - \frac{5}{6}$; $\frac{2}{5} \div 0,9$; $\frac{2}{3} \cdot \frac{7}{8}$.

Найдем значение каждого выражения. Удобнее будет работать с десятичными дробями.

1. Первое выражение: $-1,23 \div 0,4$.
Выполним деление: $-1,23 \div 0,4 = -12,3 \div 4 = -3,075$.

2. Второе выражение: $1,26 - 4\frac{2}{3}$.
Преобразуем смешанное число в десятичную дробь: $4\frac{2}{3} = 4 + \frac{2}{3} \approx 4 + 0,666... = 4,(6)$.
Выполним вычитание: $1,26 - 4,(6) = -(4,666... - 1,26) = -3,40666... = -3,40(6)$.

3. Третье выражение: $-3,8 \cdot 0,92$.
Выполним умножение: $-3,8 \cdot 0,92 = -3,496$.

Теперь сравним полученные отрицательные значения: $-3,075$; $-3,40(6)$; $-3,496$.
Среди отрицательных чисел меньшим является то, у которого модуль больше. Сравним модули:
$|-3,075| = 3,075$
$|-3,40(6)| = 3,406...$
$|-3,496| = 3,496$
Расположим модули в порядке возрастания: $3,075 < 3,406... < 3,496$.
Следовательно, для отрицательных чисел порядок будет обратным: $-3,496 < -3,40(6) < -3,075$.
Соответствующие им исходные выражения: $-3,8 \cdot 0,92$; $1,26 - 4\frac{2}{3}$; $-1,23 \div 0,4$.

Ответ: $-3,8 \cdot 0,92$; $1,26 - 4\frac{2}{3}$; $-1,23 \div 0,4$.