Страница 57, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

12. Графиком квадратичной функции является парабола с вершиной $B(-3; -20)$, проходящая через точку $N(5; 44)$. Задайте эту функцию формулой.

Для нахождения формулы квадратичной функции, график которой — парабола, удобно использовать её уравнение в виде с выделенной вершиной: $y = a(x - x_v)^2 + y_v$, где $(x_v; y_v)$ — это координаты вершины параболы.

Из условия задачи известно, что вершина параболы находится в точке B(-3; -20). Подставим эти значения в формулу:
$x_v = -3$
$y_v = -20$
Таким образом, уравнение принимает вид:
$y = a(x - (-3))^2 + (-20)$
$y = a(x + 3)^2 - 20$

Чтобы найти коэффициент $a$, воспользуемся второй данной точкой N(5; 44), через которую проходит парабола. Подставим координаты этой точки ($x = 5$, $y = 44$) в полученное уравнение:
$44 = a(5 + 3)^2 - 20$

Теперь решим это уравнение относительно $a$:
$44 = a(8)^2 - 20$
$44 = 64a - 20$
$44 + 20 = 64a$
$64 = 64a$
$a = 1$

Теперь, когда мы нашли значение $a$, мы можем записать окончательную формулу функции. Подставим $a=1$ в уравнение $y = a(x + 3)^2 - 20$:
$y = 1 \cdot (x + 3)^2 - 20$
$y = (x + 3)^2 - 20$

Приведём формулу к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$, раскрыв скобки:
$y = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 20$
$y = x^2 + 6x + 9 - 20$
$y = x^2 + 6x - 11$

Ответ: $y = x^2 + 6x - 11$.

13. Не выполняя построения, определите расстояние между осями симметрии графиков функций:

a) $y=x^2+6x+10$ и $y=x^2-6x+11$;

б) $y=-x^2+2x+1$ и $y=-2x^2+12x-14$.

а)

Даны функции $y = x^2 + 6x + 10$ и $y = x^2 - 6x + 11$.

Графиком квадратичной функции вида $y = ax^2 + bx + c$ является парабола. Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через её вершину. Уравнение оси симметрии имеет вид $x = x_0$, где $x_0$ — абсцисса вершины, которая вычисляется по формуле: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Для первой функции $y = x^2 + 6x + 10$ коэффициенты равны $a = 1$, $b = 6$.
Найдем абсциссу вершины первой параболы:
$x_1 = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$.
Следовательно, уравнение оси симметрии для первой функции: $x = -3$.

Для второй функции $y = x^2 - 6x + 11$ коэффициенты равны $a = 1$, $b = -6$.
Найдем абсциссу вершины второй параболы:
$x_2 = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$.
Следовательно, уравнение оси симметрии для второй функции: $x = 3$.

Расстояние между двумя вертикальными прямыми $x = x_1$ и $x = x_2$ равно модулю разности их абсцисс: $d = |x_2 - x_1|$.
Вычислим расстояние между осями симметрии:
$d = |3 - (-3)| = |3 + 3| = 6$.

Ответ: 6.

б)

Даны функции $y = -x^2 + 2x + 1$ и $y = -2x^2 + 12x - 14$.

Воспользуемся той же формулой для нахождения осей симметрии: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Для первой функции $y = -x^2 + 2x + 1$ коэффициенты равны $a = -1$, $b = 2$.
Найдем абсциссу вершины первой параболы:
$x_1 = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = -\frac{2}{-2} = 1$.
Уравнение её оси симметрии: $x = 1$.

Для второй функции $y = -2x^2 + 12x - 14$ коэффициенты равны $a = -2$, $b = 12$.
Найдем абсциссу вершины второй параболы:
$x_2 = -\frac{12}{2 \cdot (-2)} = -\frac{12}{-4} = 3$.
Уравнение её оси симметрии: $x = 3$.

Вычислим расстояние между осями симметрии $x = 1$ и $x = 3$:
$d = |3 - 1| = 2$.

Ответ: 2.

14. Функция $y=-x^2+6x-5$ определена на отрезке $[0; 6]$. Найдите область значений этой функции.

Для того чтобы найти область значений функции $y = -x^2 + 6x - 5$ на отрезке $[0; 6]$, необходимо найти ее наименьшее и наибольшее значения на этом отрезке.

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-1$, что меньше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вниз. Это означает, что свое наибольшее значение функция достигает в вершине параболы.

1. Найдем координаты вершины параболы.
Абсцисса вершины $x_v$ вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. Для нашей функции $a=-1$ и $b=6$.
$x_v = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3$.
Поскольку значение $x_v = 3$ принадлежит заданному отрезку $[0; 6]$, наибольшее значение функции на этом отрезке будет достигаться именно в вершине.

Найдем ординату вершины, подставив $x_v=3$ в уравнение функции:
$y_v = y(3) = -(3)^2 + 6 \cdot 3 - 5 = -9 + 18 - 5 = 4$.
Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке $y_{\text{наиб}} = 4$.

2. Найдем значения функции на концах отрезка.
Поскольку вершина параболы находится внутри отрезка, а ее ветви направлены вниз, наименьшее значение функции будет достигаться на одном из концов отрезка: $x=0$ или $x=6$.

Вычислим значение функции в точке $x = 0$:
$y(0) = -(0)^2 + 6 \cdot 0 - 5 = -5$.

Вычислим значение функции в точке $x = 6$:
$y(6) = -(6)^2 + 6 \cdot 6 - 5 = -36 + 36 - 5 = -5$.

Наименьшее значение функции на отрезке $y_{\text{наим}} = -5$.

3. Определим область значений.
Мы нашли, что на отрезке $[0; 6]$ наибольшее значение функции равно 4, а наименьшее равно -5. Следовательно, область значений функции на данном отрезке — это все числа от -5 до 4 включительно.

Ответ: $[-5; 4]$.

6. Найдите значение выражения при заданных значениях переменных:

а) $0,5x + 2,4$ при $x = -4$

б) $3a - 2b$ при $a = 3\frac{1}{3}$, $b = -3,5$

в) $3x^2 - 2x + 1$ при $x = -1$

г) $(y + 2)^2 - 5y$ при $y = -3$

д) $\frac{(x+1)^2}{x-1} + 6x$ при $x = -4$

е) $\frac{x^2 - 4x + 2}{x^2 - 5} + 6x$ при $x = -6$

Ответ:

а) ....................... б) ....................... в) .......................

г) ....................... д) ....................... е) .......................

а) Чтобы найти значение выражения $0,5x + 2,4$ при $x = -4$, подставим значение $x$ в выражение:

$0,5 \cdot (-4) + 2,4 = -2 + 2,4 = 0,4$.

Ответ: 0,4

б) Чтобы найти значение выражения $3a - 2b$ при $a = 3\frac{1}{3}$ и $b = -3,5$, подставим значения переменных в выражение.

Сначала преобразуем смешанное число $a$ в неправильную дробь: $a = 3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$.

Подставляем значения $a$ и $b$:

$3 \cdot \left(\frac{10}{3}\right) - 2 \cdot (-3,5) = 10 - (-7) = 10 + 7 = 17$.

Ответ: 17

в) Чтобы найти значение выражения $3x^2 - 2x + 1$ при $x = -1$, подставим значение $x$ в выражение:

$3 \cdot (-1)^2 - 2 \cdot (-1) + 1 = 3 \cdot 1 - (-2) + 1 = 3 + 2 + 1 = 6$.

Ответ: 6

г) Чтобы найти значение выражения $(y + 2)^2 - 5y$ при $y = -3$, подставим значение $y$ в выражение:

$(-3 + 2)^2 - 5 \cdot (-3) = (-1)^2 - (-15) = 1 + 15 = 16$.

Ответ: 16

д) Чтобы найти значение выражения $\frac{(x+1)^2}{x-1} + 6x$ при $x = -4$, подставим значение $x$ в выражение:

$\frac{(-4+1)^2}{-4-1} + 6 \cdot (-4) = \frac{(-3)^2}{-5} - 24 = \frac{9}{-5} - 24 = -1,8 - 24 = -25,8$.

Ответ: -25,8

е) Чтобы найти значение выражения $\frac{x^2 - 4x + 2}{x^2 - 5} + 6x$ при $x = -6$, подставим значение $x$ в выражение:

$\frac{(-6)^2 - 4 \cdot (-6) + 2}{(-6)^2 - 5} + 6 \cdot (-6) = \frac{36 + 24 + 2}{36 - 5} - 36 = \frac{62}{31} - 36 = 2 - 36 = -34$.

Ответ: -34

7. Найдите:

а) 12,5 % от 400 ..................

б) число, если 17 % этого числа равны 51 ..........................

Ответ: а) ......................... б) ..........................

а) 12,5 % от 400

Чтобы найти процент от числа, необходимо перевести проценты в десятичную дробь и умножить на это число.
Переводим 12,5% в десятичную дробь: $12,5\% = \frac{12,5}{100} = 0,125$.
Теперь умножим полученную дробь на 400:
$0,125 \cdot 400 = 50$.
Также можно представить 12,5% как обыкновенную дробь: $12,5\% = \frac{12,5}{100} = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$.
Тогда задача сводится к нахождению $\frac{1}{8}$ от 400:
$400 \cdot \frac{1}{8} = \frac{400}{8} = 50$.
Ответ: 50

б) число, если 17 % этого числа равны 51

Это задача на нахождение целого по его части. Пусть искомое число равно $x$.
По условию, 17% от числа $x$ равны 51. Составим уравнение.
Сначала представим 17% в виде десятичной дроби: $17\% = \frac{17}{100} = 0,17$.
Уравнение будет выглядеть так:
$0,17 \cdot x = 51$.
Чтобы найти $x$, разделим 51 на 0,17:
$x = \frac{51}{0,17}$.
Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель на 100:
$x = \frac{5100}{17}$.
Поскольку $51 = 3 \cdot 17$, то $5100 = 300 \cdot 17$.
$x = \frac{300 \cdot 17}{17} = 300$.
Ответ: 300