Страница 59, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

4. Решите уравнение, используя разложение многочлена на множители:

$x^5 + 8x^4 - x - 8 = 0;$

$(x^5 + 8x^4) - (x + 8) = 0;$

$x^4(x + 8) - (x + 8) = 0;$

$(x + 8)(x^4 - 1) = 0; (x + 8)(x^2 - 1)(x^2 + 1) = 0;$

$(x + 8)(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) = 0;$

$x + 8 = 0$, или $x - 1 = 0$, или $x + 1 = 0$, или $x^2 + 1 = 0;$

$x_1 = -8, x_2 = 1, x_3 = -1.$

а) $y^3 - 5y^2 = 0;$

б) $y^3 - y - 2y^2 + 2 = 0;$

в) $y^3 - 4y + y^2 - 4 = 0.$

Ответ: а)

б) в)

а) Решим уравнение $y^3 - 5y^2 = 0$.
Для решения вынесем общий множитель $y^2$ за скобки:
$y^2(y - 5) = 0$
Произведение равно нулю в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два уравнения:
$y^2 = 0$ или $y - 5 = 0$.
Из первого уравнения находим корень $y_1 = 0$.
Из второго уравнения находим корень $y_2 = 5$.
Ответ: $0; 5$.

б) Решим уравнение $y^3 - y - 2y^2 + 2 = 0$.
Для разложения на множители сгруппируем слагаемые. Сначала изменим порядок членов:
$y^3 - 2y^2 - y + 2 = 0$
Теперь сгруппируем их:
$(y^3 - 2y^2) - (y - 2) = 0$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$y^2(y - 2) - 1(y - 2) = 0$
Вынесем общий множитель $(y - 2)$ за скобки:
$(y - 2)(y^2 - 1) = 0$
Выражение $y^2 - 1$ является разностью квадратов и раскладывается как $(y - 1)(y + 1)$. Получаем:
$(y - 2)(y - 1)(y + 1) = 0$
Приравнивая каждый множитель к нулю, находим корни:
$y - 2 = 0 \Rightarrow y_1 = 2$
$y - 1 = 0 \Rightarrow y_2 = 1$
$y + 1 = 0 \Rightarrow y_3 = -1$
Ответ: $-1; 1; 2$.

в) Решим уравнение $y^3 - 4y + y^2 - 4 = 0$.
Сгруппируем слагаемые для разложения на множители. Изменим порядок членов для удобства:
$y^3 + y^2 - 4y - 4 = 0$
Сгруппируем попарно:
$(y^3 + y^2) - (4y + 4) = 0$
Вынесем общие множители из каждой скобки:
$y^2(y + 1) - 4(y + 1) = 0$
Вынесем общий множитель $(y + 1)$ за скобки:
$(y + 1)(y^2 - 4) = 0$
Выражение $y^2 - 4$ является разностью квадратов и раскладывается как $(y - 2)(y + 2)$. Получаем:
$(y + 1)(y - 2)(y + 2) = 0$
Приравнивая каждый множитель к нулю, находим корни:
$y + 1 = 0 \Rightarrow y_1 = -1$
$y - 2 = 0 \Rightarrow y_2 = 2$
$y + 2 = 0 \Rightarrow y_3 = -2$
Ответ: $-2; -1; 2$.

5. При каких значениях $a$ верно равенство $a^3 - 6a^2 - 2a + 12 = 0$?

Для нахождения значений a, при которых верно равенство $a^3 - 6a^2 - 2a + 12 = 0$, решим это кубическое уравнение. Наиболее удобным методом в данном случае является разложение на множители с помощью группировки.

Сгруппируем члены уравнения:
$(a^3 - 6a^2) + (-2a + 12) = 0$

Вынесем общие множители из каждой скобки. Из первой скобки вынесем $a^2$, а из второй – $-2$:
$a^2(a - 6) - 2(a - 6) = 0$

Теперь мы видим, что у обоих слагаемых есть общий множитель $(a - 6)$. Вынесем его за скобки:
$(a - 6)(a^2 - 2) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда следует, что либо первый множитель равен нулю, либо второй.

1. Решим первое уравнение:
$a - 6 = 0$
$a_1 = 6$

2. Решим второе уравнение:
$a^2 - 2 = 0$
$a^2 = 2$
$a_{2,3} = \pm\sqrt{2}$

Таким образом, мы нашли три значения a, при которых исходное равенство является верным.

Ответ: $-\sqrt{2}; \sqrt{2}; 6$.

11. Найдите значение выражения:

а) $\sqrt{5+\sqrt{21}} \cdot \sqrt{5-\sqrt{21}} =$

б) $\sqrt{7-4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{7+4\sqrt{3}} =$

а)

Чтобы найти значение данного выражения, воспользуемся свойством произведения квадратных корней: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$. Это свойство применимо, так как оба подкоренных выражения, $5 + \sqrt{21}$ и $5 - \sqrt{21}$, являются положительными числами (поскольку $5^2 = 25$ и $(\sqrt{21})^2 = 21$, то $5 > \sqrt{21}$).

Запишем исходное выражение под одним корнем:

$\sqrt{5 + \sqrt{21}} \cdot \sqrt{5 - \sqrt{21}} = \sqrt{(5 + \sqrt{21})(5 - \sqrt{21})}$

Выражение в скобках под корнем представляет собой формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. В нашем случае $a=5$ и $b=\sqrt{21}$.

Применим эту формулу для упрощения подкоренного выражения:

$(5 + \sqrt{21})(5 - \sqrt{21}) = 5^2 - (\sqrt{21})^2 = 25 - 21 = 4$

Теперь подставим полученное значение обратно под корень и вычислим результат:

$\sqrt{4} = 2$

Ответ: 2

б)

Решение этого примера аналогично предыдущему. Мы также используем свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$. Проверим, что подкоренные выражения положительны. $7 + 4\sqrt{3}$ очевидно положительно. Для $7 - 4\sqrt{3}$ сравним $7$ и $4\sqrt{3}$. Возведем оба числа в квадрат: $7^2=49$ и $(4\sqrt{3})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$. Так как $49 > 48$, то $7 > 4\sqrt{3}$, и выражение $7 - 4\sqrt{3}$ положительно.

Объединим множители под одним знаком корня:

$\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{(7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3})}$

Снова применяем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=7$ и $b=4\sqrt{3}$.

$(7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3}) = 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - (16 \cdot 3) = 49 - 48 = 1$

Подставляем результат под корень:

$\sqrt{1} = 1$

Ответ: 1

12. Выполните действия:

a) $\sqrt{(5+\sqrt{5})^2} - \sqrt{(2-\sqrt{5})^2} = \dots$

б) $(5-2\sqrt{3})^2 + (5+2\sqrt{3})^2 = \dots$

в) $(\sqrt{10+5\sqrt{3}} - \sqrt{10-5\sqrt{3}})^2 = \dots$

г) $\frac{1}{6-3\sqrt{2}} + \frac{1}{6+3\sqrt{2}} = \dots$

а) Для решения используем свойство арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$.
$\sqrt{(5+\sqrt{5})^2} - \sqrt{(2-\sqrt{5})^2} = |5+\sqrt{5}| - |2-\sqrt{5}|$.
Оценим знаки выражений под знаком модуля:
Выражение $5+\sqrt{5}$ является положительным, так как это сумма двух положительных чисел. Следовательно, $|5+\sqrt{5}| = 5+\sqrt{5}$.
Для выражения $2-\sqrt{5}$ сравним числа $2$ и $\sqrt{5}$. Так как $2^2=4$ и $(\sqrt{5})^2=5$, то $4<5$, а значит $2 < \sqrt{5}$. Поэтому разность $2-\sqrt{5}$ является отрицательным числом.
Следовательно, $|2-\sqrt{5}| = -(2-\sqrt{5}) = \sqrt{5}-2$.
Подставим полученные значения в исходное выражение:
$(5+\sqrt{5}) - (\sqrt{5}-2) = 5 + \sqrt{5} - \sqrt{5} + 2 = 7$.
Ответ: 7

б) Используем формулы сокращенного умножения: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Сумма этих выражений равна: $(a-b)^2 + (a+b)^2 = (a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 + 2ab + b^2) = 2a^2 + 2b^2 = 2(a^2+b^2)$.
В нашем случае $a=5$ и $b=2\sqrt{3}$.
Подставим значения в упрощенную формулу:
$2(5^2 + (2\sqrt{3})^2) = 2(25 + 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2) = 2(25 + 4 \cdot 3) = 2(25+12) = 2 \cdot 37 = 74$.
Ответ: 74

в) Воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В данном случае $a = \sqrt{10+5\sqrt{3}}$ и $b = \sqrt{10-5\sqrt{3}}$.
$(\sqrt{10+5\sqrt{3}} - \sqrt{10-5\sqrt{3}})^2 = (\sqrt{10+5\sqrt{3}})^2 - 2 \cdot \sqrt{10+5\sqrt{3}} \cdot \sqrt{10-5\sqrt{3}} + (\sqrt{10-5\sqrt{3}})^2$.
Упростим каждое слагаемое:
$(\sqrt{10+5\sqrt{3}})^2 = 10+5\sqrt{3}$.
$(\sqrt{10-5\sqrt{3}})^2 = 10-5\sqrt{3}$.
Произведение корней $2 \cdot \sqrt{10+5\sqrt{3}} \cdot \sqrt{10-5\sqrt{3}}$ можно записать как $2 \sqrt{(10+5\sqrt{3})(10-5\sqrt{3})}$. Выражение под корнем является разностью квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$:
$2 \sqrt{10^2 - (5\sqrt{3})^2} = 2 \sqrt{100 - (25 \cdot 3)} = 2 \sqrt{100 - 75} = 2 \sqrt{25} = 2 \cdot 5 = 10$.
Теперь подставим все части обратно в раскрытую формулу:
$(10+5\sqrt{3}) - 10 + (10-5\sqrt{3}) = 10 + 5\sqrt{3} - 10 + 10 - 5\sqrt{3} = 10$.
Ответ: 10

г) Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению знаменателей: $(6-3\sqrt{2})(6+3\sqrt{2})$.
$\frac{1}{6-3\sqrt{2}} + \frac{1}{6+3\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot (6+3\sqrt{2})}{(6-3\sqrt{2})(6+3\sqrt{2})} + \frac{1 \cdot (6-3\sqrt{2})}{(6+3\sqrt{2})(6-3\sqrt{2})}$.
Сложим числители над общим знаменателем:
$\frac{(6+3\sqrt{2}) + (6-3\sqrt{2})}{(6-3\sqrt{2})(6+3\sqrt{2})} = \frac{12}{(6-3\sqrt{2})(6+3\sqrt{2})}$.
Знаменатель является разностью квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$(6-3\sqrt{2})(6+3\sqrt{2}) = 6^2 - (3\sqrt{2})^2 = 36 - (9 \cdot 2) = 36 - 18 = 18$.
Получаем дробь: $\frac{12}{18}$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 6:
$\frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$

13. Сравните значения выражений без использования калькулятора:

а) $2\sqrt{3}$ и $\sqrt{12}$

б) $2\sqrt{10}$ и $3\sqrt{5}$

в) $\sqrt{2} + \sqrt{7}$ и $\sqrt{5} + 2$

г) $\sqrt{6} + 3$ и $\sqrt{5} + \sqrt{10}$

Ответ: а)

Ответ: б)

Ответ: в)

Ответ: г)

а) Чтобы сравнить значения выражений $2\sqrt{3}$ и $\sqrt{12}$, приведем их к одному виду. Внесем множитель 2 под знак корня в первом выражении. Для этого возведем 2 в квадрат и умножим на подкоренное выражение:
$2\sqrt{3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}$.
Теперь сравним полученное выражение с $\sqrt{12}$:
$\sqrt{12} = \sqrt{12}$.
Следовательно, значения выражений равны.
Ответ: $2\sqrt{3} = \sqrt{12}$.

б) Для сравнения выражений $2\sqrt{10}$ и $3\sqrt{5}$ внесем множители перед корнями под знак корня.
Для первого выражения: $2\sqrt{10} = \sqrt{2^2 \cdot 10} = \sqrt{4 \cdot 10} = \sqrt{40}$.
Для второго выражения: $3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$.
Теперь сравним полученные результаты: $\sqrt{40}$ и $\sqrt{45}$. Так как функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей, большему подкоренному выражению соответствует большее значение корня.
Поскольку $40 < 45$, то $\sqrt{40} < \sqrt{45}$.
Следовательно, $2\sqrt{10} < 3\sqrt{5}$.
Ответ: $2\sqrt{10} < 3\sqrt{5}$.

в) Оба выражения, $\sqrt{2} + \sqrt{7}$ и $\sqrt{5} + 2$, являются положительными. Чтобы их сравнить, мы можем сравнить их квадраты. Если $a > 0$, $b > 0$, то неравенство $a < b$ равносильно неравенству $a^2 < b^2$.
Возведем в квадрат первое выражение:
$(\sqrt{2} + \sqrt{7})^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = 2 + 2\sqrt{14} + 7 = 9 + 2\sqrt{14}$.
Возведем в квадрат второе выражение:
$(\sqrt{5} + 2)^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + 2^2 = 5 + 4\sqrt{5} + 4 = 9 + 4\sqrt{5}$.
Теперь сравним результаты: $9 + 2\sqrt{14}$ и $9 + 4\sqrt{5}$. Это равносильно сравнению $2\sqrt{14}$ и $4\sqrt{5}$. Внесем множители под знак корня:
$2\sqrt{14} = \sqrt{2^2 \cdot 14} = \sqrt{4 \cdot 14} = \sqrt{56}$.
$4\sqrt{5} = \sqrt{4^2 \cdot 5} = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{80}$.
Так как $56 < 80$, то $\sqrt{56} < \sqrt{80}$. Следовательно, $2\sqrt{14} < 4\sqrt{5}$, а значит $9 + 2\sqrt{14} < 9 + 4\sqrt{5}$.
Поскольку квадраты выражений соотносятся как $(\sqrt{2} + \sqrt{7})^2 < (\sqrt{5} + 2)^2$, и сами выражения положительны, то и $\sqrt{2} + \sqrt{7} < \sqrt{5} + 2$.
Ответ: $\sqrt{2} + \sqrt{7} < \sqrt{5} + 2$.

г) Сравним выражения $\sqrt{6} + 3$ и $\sqrt{5} + \sqrt{10}$. Оба выражения положительны, поэтому мы можем сравнить их квадраты.
Возведем в квадрат первое выражение:
$(\sqrt{6} + 3)^2 = (\sqrt{6})^2 + 2 \cdot \sqrt{6} \cdot 3 + 3^2 = 6 + 6\sqrt{6} + 9 = 15 + 6\sqrt{6}$.
Возведем в квадрат второе выражение:
$(\sqrt{5} + \sqrt{10})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{10} + (\sqrt{10})^2 = 5 + 2\sqrt{50} + 10 = 15 + 2\sqrt{50}$.
Теперь сравним $15 + 6\sqrt{6}$ и $15 + 2\sqrt{50}$. Это равносильно сравнению $6\sqrt{6}$ и $2\sqrt{50}$. Внесем множители под знак корня:
$6\sqrt{6} = \sqrt{6^2 \cdot 6} = \sqrt{36 \cdot 6} = \sqrt{216}$.
$2\sqrt{50} = \sqrt{2^2 \cdot 50} = \sqrt{4 \cdot 50} = \sqrt{200}$.
Так как $216 > 200$, то $\sqrt{216} > \sqrt{200}$. Значит, $6\sqrt{6} > 2\sqrt{50}$, и $15 + 6\sqrt{6} > 15 + 2\sqrt{50}$.
Так как квадраты выражений соотносятся как $(\sqrt{6} + 3)^2 > (\sqrt{5} + \sqrt{10})^2$, и сами выражения положительны, то $\sqrt{6} + 3 > \sqrt{5} + \sqrt{10}$.
Ответ: $\sqrt{6} + 3 > \sqrt{5} + \sqrt{10}$.