Страница 65, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

2. При каких значениях $b$ равно нулю значение дроби $\frac{2b^3 - 8b}{3b + 6}$?

Значение дроби равно нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Это можно записать в виде системы:

$\begin{cases} 2b^3 - 8b = 0, \\ 3b + 6 \neq 0. \end{cases}$

1. Решим первое уравнение системы:

$2b^3 - 8b = 0$

Вынесем общий множитель $2b$ за скобки:

$2b(b^2 - 4) = 0$

Выражение в скобках является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - c^2 = (a - c)(a + c)$:

$2b(b - 2)(b + 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем три возможных значения $b$:

$2b = 0 \implies b_1 = 0$

$b - 2 = 0 \implies b_2 = 2$

$b + 2 = 0 \implies b_3 = -2$

2. Проверим выполнение второго условия системы (неравенства) для каждого из найденных корней:

$3b + 6 \neq 0$

$3b \neq -6$

$b \neq -2$

Это условие означает, что знаменатель не должен быть равен нулю. Значение $b = -2$ не входит в область допустимых значений (ОДЗ) дроби.

3. Сравним корни уравнения с ОДЗ:

• При $b = 0$: условие $b \neq -2$ выполняется ($0 \neq -2$). Следовательно, $b=0$ является решением.
• При $b = 2$: условие $b \neq -2$ выполняется ($2 \neq -2$). Следовательно, $b=2$ является решением.
• При $b = -2$: условие $b \neq -2$ не выполняется. При этом значении знаменатель дроби обращается в нуль, что недопустимо. Следовательно, $b=-2$ не является решением.

Таким образом, значение дроби равно нулю при двух значениях $b$.

Ответ: $0; 2$.

3. Решите уравнение $\frac{6}{3x + 8} = 5x - 1$ и выполните проверку.

Решение уравнения

Исходное уравнение:

$\frac{6}{3x+8} = 5x - 1$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$3x + 8 \neq 0$

$3x \neq -8$

$x \neq -\frac{8}{3}$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на выражение $(3x + 8)$, при условии, что оно не равно нулю:

$6 = (5x - 1)(3x + 8)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$6 = 5x \cdot 3x + 5x \cdot 8 - 1 \cdot 3x - 1 \cdot 8$

$6 = 15x^2 + 40x - 3x - 8$

Приведем подобные слагаемые:

$6 = 15x^2 + 37x - 8$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$15x^2 + 37x - 8 - 6 = 0$

$15x^2 + 37x - 14 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае коэффициенты: $a=15$, $b=37$, $c=-14$.

$D = 37^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-14) = 1369 + 840 = 2209$

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{2209} = 47$

$x_1 = \frac{-37 + 47}{2 \cdot 15} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{-37 - 47}{2 \cdot 15} = \frac{-84}{30} = -\frac{42}{15} = -\frac{14}{5}$ (или $-2.8$)

Оба найденных корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -\frac{8}{3}$), так как $\frac{1}{3} \neq -\frac{8}{3}$ и $-\frac{14}{5} \neq -\frac{8}{3}$.

Ответ: $x_1 = \frac{1}{3}, x_2 = -\frac{14}{5}$.

Проверка

Выполним проверку, подставив каждый из найденных корней в исходное уравнение.

1. Для корня $x_1 = \frac{1}{3}$:

Подставляем в уравнение $\frac{6}{3x+8} = 5x - 1$.

Левая часть: $\frac{6}{3(\frac{1}{3}) + 8} = \frac{6}{1 + 8} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.

Правая часть: $5(\frac{1}{3}) - 1 = \frac{5}{3} - 1 = \frac{5}{3} - \frac{3}{3} = \frac{2}{3}$.

Так как левая и правая части равны ($\frac{2}{3} = \frac{2}{3}$), корень $x_1 = \frac{1}{3}$ найден верно.

2. Для корня $x_2 = -\frac{14}{5}$:

Подставляем в уравнение $\frac{6}{3x+8} = 5x - 1$.

Левая часть: $\frac{6}{3(-\frac{14}{5}) + 8} = \frac{6}{-\frac{42}{5} + \frac{40}{5}} = \frac{6}{-\frac{2}{5}} = 6 \cdot (-\frac{5}{2}) = -15$.

Правая часть: $5(-\frac{14}{5}) - 1 = -14 - 1 = -15$.

Так как левая и правая части равны ($-15 = -15$), корень $x_2 = -\frac{14}{5}$ найден верно.

Ответ: проверка подтвердила правильность найденных корней.

4. Решите уравнение

$\frac{5a^3 - 20a + 15a^2 - 60}{a^2 - 9} = 0.$

Данное уравнение $\frac{5a^3 - 20a + 15a^2 - 60}{a^2 - 9} = 0$ является дробно-рациональным. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не должен быть равен нулю:

$a^2 - 9 \neq 0$

Разложим левую часть по формуле разности квадратов:

$(a - 3)(a + 3) \neq 0$

Следовательно, ОДЗ: $a \neq 3$ и $a \neq -3$.

2. Приравняем числитель к нулю:

$5a^3 - 20a + 15a^2 - 60 = 0$

Переставим слагаемые для удобства и вынесем общий множитель 5 за скобки:

$5a^3 + 15a^2 - 20a - 60 = 0$

$5(a^3 + 3a^2 - 4a - 12) = 0$

Разделим обе части уравнения на 5:

$a^3 + 3a^2 - 4a - 12 = 0$

Решим полученное кубическое уравнение методом группировки:

$(a^3 + 3a^2) - (4a + 12) = 0$

$a^2(a + 3) - 4(a + 3) = 0$

Вынесем общий множитель $(a + 3)$ за скобку:

$(a^2 - 4)(a + 3) = 0$

Выражение $(a^2 - 4)$ также раскладывается по формуле разности квадратов:

$(a - 2)(a + 2)(a + 3) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем три возможных корня:

$a - 2 = 0 \implies a_1 = 2$

$a + 2 = 0 \implies a_2 = -2$

$a + 3 = 0 \implies a_3 = -3$

3. Проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($a \neq 3$ и $a \neq -3$).

Корень $a = 2$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $a = -2$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $a = -3$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель исходной дроби обращается в ноль. Следовательно, это посторонний корень и он не является решением уравнения.

Ответ: $-2; 2$.

8. Упростите выражение:

a) $ \left(a + \frac{6 - a^2}{1 + a}\right) : \frac{6 + a}{a^2 - 1} = $

б) $ \left(a - 5 + \frac{15}{a + 5}\right) : \frac{a^2 - 10}{a^2 + 10a + 25} = $

а) Чтобы упростить данное выражение, сначала выполним действие в скобках, приведя слагаемые к общему знаменателю $(1+a)$:
$a + \frac{6-a^2}{1+a} = \frac{a(1+a)}{1+a} + \frac{6-a^2}{1+a} = \frac{a+a^2+6-a^2}{1+a} = \frac{a+6}{1+a}$
Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь:
$\frac{a+6}{1+a} : \frac{6+a}{a^2-1} = \frac{a+6}{1+a} \cdot \frac{a^2-1}{6+a}$
Разложим знаменатель второй дроби на множители по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$a^2-1 = (a-1)(a+1)$
Подставим это в наше выражение и сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:
$\frac{a+6}{1+a} \cdot \frac{(a-1)(a+1)}{a+6} = \frac{\cancel{a+6}}{\cancel{1+a}} \cdot \frac{(a-1)\cancel{(a+1)}}{\cancel{a+6}} = a-1$
Выражение определено при $1+a \neq 0$ ($a \neq -1$), $a^2-1 \neq 0$ ($a \neq \pm1$) и $6+a \neq 0$ ($a \neq -6$).
Ответ: $a-1$

б) Аналогично, сначала упростим выражение в скобках. Общий знаменатель — $(a+5)$:
$a-5 + \frac{15}{a+5} = \frac{(a-5)(a+5)}{a+5} + \frac{15}{a+5}$
Используем формулу разности квадратов в числителе первой дроби:
$\frac{a^2-25}{a+5} + \frac{15}{a+5} = \frac{a^2-25+15}{a+5} = \frac{a^2-10}{a+5}$
Теперь выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:
$\frac{a^2-10}{a+5} : \frac{a^2-10}{a^2+10a+25} = \frac{a^2-10}{a+5} \cdot \frac{a^2+10a+25}{a^2-10}$
Знаменатель второй дроби является полным квадратом: $a^2+10a+25 = (a+5)^2$.
Подставим и сократим:
$\frac{\cancel{a^2-10}}{a+5} \cdot \frac{(a+5)^2}{\cancel{a^2-10}} = \frac{(a+5)^2}{a+5} = a+5$
Выражение определено при $a+5 \neq 0$ ($a \neq -5$) и $a^2-10 \neq 0$ ($a \neq \pm\sqrt{10}$).
Ответ: $a+5$

9. Разложите на множители:

а) $9(2x - y)^2 - 4(3x - y)^2 =$

б) $10x^4y^2 - 40x^2y^4 =$

в) $(a - b)^3 - a^3 =$

а) Данное выражение $9(2x - y)^2 - 4(3x - y)^2$ представляет собой разность квадратов. Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Сначала представим каждый член выражения в виде квадрата:$9(2x - y)^2 = (3(2x - y))^2$ и $4(3x - y)^2 = (2(3x - y))^2$.
В нашем случае $A = 3(2x - y)$ и $B = 2(3x - y)$.
Подставим эти значения в формулу:
$(3(2x - y) - 2(3x - y)) \cdot (3(2x - y) + 2(3x - y))$
Теперь упростим выражения в каждой из скобок.
Первая скобка: $3(2x - y) - 2(3x - y) = 6x - 3y - (6x - 2y) = 6x - 3y - 6x + 2y = -y$.
Вторая скобка: $3(2x - y) + 2(3x - y) = 6x - 3y + 6x - 2y = 12x - 5y$.
В итоге получаем произведение: $(-y)(12x - 5y)$.
Ответ: $(-y)(12x - 5y)$.

б) В выражении $10x^4y^2 - 40x^2y^4$ первым шагом вынесем за скобки общий множитель. Наибольший общий делитель для одночленов $10x^4y^2$ и $40x^2y^4$ равен $10x^2y^2$.
Выносим его за скобки: $10x^2y^2(x^2 - 4y^2)$.
Выражение в скобках $x^2 - 4y^2$ также можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, так как $4y^2 = (2y)^2$.
Здесь $A = x$ и $B = 2y$.
Получаем: $x^2 - (2y)^2 = (x - 2y)(x + 2y)$.
Подставляем это разложение в наше выражение:
$10x^2y^2(x - 2y)(x + 2y)$.
Ответ: $10x^2y^2(x - 2y)(x + 2y)$.

в) Выражение $(a - b)^3 - a^3$ является разностью кубов. Используем формулу разности кубов $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.
В данном случае $A = a - b$ и $B = a$.
Подставляем в формулу:
$((a - b) - a) \cdot ((a - b)^2 + (a - b)a + a^2)$
Упростим каждый множитель отдельно.
Первый множитель: $(a - b) - a = a - b - a = -b$.
Второй множитель: $(a - b)^2 + (a - b)a + a^2 = (a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 - ab) + a^2 = 3a^2 - 3ab + b^2$.
Объединяем упрощенные части и получаем итоговое разложение:
$-b(3a^2 - 3ab + b^2)$.
Ответ: $-b(3a^2 - 3ab + b^2)$.

10. Разложите на множители трёхчлен:

а) $x^2 - 5xy + 6y^2 = $ ..................

б) $2a^2 + ab - 3b^2 = $ ..................

а) Для разложения трёхчлена $x^2 - 5xy + 6y^2$ на множители представим средний член $-5xy$ в виде суммы двух слагаемых. Нам нужно найти два одночлена, сумма которых равна $-5xy$, а произведение равно произведению первого и третьего членов, то есть $x^2 \cdot 6y^2 = 6x^2y^2$. Такими одночленами являются $-2xy$ и $-3xy$, так как $(-2xy) + (-3xy) = -5xy$ и $(-2xy) \cdot (-3xy) = 6x^2y^2$.

Перепишем выражение:

$x^2 - 5xy + 6y^2 = x^2 - 2xy - 3xy + 6y^2$

Теперь сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$(x^2 - 2xy) - (3xy - 6y^2) = x(x - 2y) - 3y(x - 2y)$

Видно, что у нас есть общий множитель $(x - 2y)$, который мы также можем вынести за скобки:

$(x - 3y)(x - 2y)$

Ответ: $(x - 3y)(x - 2y)$

б) Рассмотрим трёхчлен $2a^2 + ab - 3b^2$. Применим метод группировки. Для этого нам нужно разбить средний член $ab$ на два слагаемых. Их произведение должно быть равно произведению первого и третьего членов ($2a^2 \cdot (-3b^2) = -6a^2b^2$), а их сумма должна быть равна среднему члену $ab$. Такими слагаемыми являются $3ab$ и $-2ab$, так как $3ab + (-2ab) = ab$ и $3ab \cdot (-2ab) = -6a^2b^2$.

Подставим их в исходное выражение:

$2a^2 + ab - 3b^2 = 2a^2 + 3ab - 2ab - 3b^2$

Сгруппируем слагаемые:

$(2a^2 + 3ab) - (2ab + 3b^2)$

Вынесем общие множители из каждой скобки:

$a(2a + 3b) - b(2a + 3b)$

Теперь вынесем общий множитель $(2a + 3b)$:

$(a - b)(2a + 3b)$

Ответ: $(a - b)(2a + 3b)$