Страница 72, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

15. Решите уравнение $ \frac{x^2 + 4}{x} + \frac{x}{x^2 + 4} = \frac{17}{4} $.

Данное уравнение представляет собой рациональное уравнение вида:

$$ \frac{x^2 + 4}{x} + \frac{x}{x^2 + 4} = \frac{17}{4} $$

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Знаменатели дробей в уравнении не могут быть равны нулю:
1. $x \neq 0$.
2. $x^2 + 4 \neq 0$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $x^2 + 4 \ge 4$. Следовательно, этот знаменатель никогда не равен нулю.
Таким образом, единственное ограничение на $x$ — это $x \neq 0$.

Мы видим, что два слагаемых в левой части уравнения являются взаимно обратными. Это позволяет нам использовать метод замены переменной для упрощения уравнения.
Пусть $y = \frac{x^2 + 4}{x}$.
Тогда второе слагаемое будет равно $\frac{1}{y}$.

Подставив $y$ в исходное уравнение, получим:

$$ y + \frac{1}{y} = \frac{17}{4} $$

Это уравнение является дробно-рациональным относительно $y$. Умножим обе части уравнения на $4y$, чтобы избавиться от знаменателей. Заметим, что $y$ не может быть равно нулю, так как $x^2+4$ не равно нулю.

$$ 4y \cdot y + 4y \cdot \frac{1}{y} = 4y \cdot \frac{17}{4} $$

$$ 4y^2 + 4 = 17y $$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ay^2 + by + c = 0$:

$$ 4y^2 - 17y + 4 = 0 $$

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$$ D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225 $$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{225} = 15$.

Найдем значения $y$:

$$ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4 $$

$$ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - 15}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} $$

Теперь необходимо выполнить обратную замену, чтобы найти значения $x$. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $y = 4$

Подставляем это значение в выражение для замены:

$$ \frac{x^2 + 4}{x} = 4 $$

$$ x^2 + 4 = 4x $$

$$ x^2 - 4x + 4 = 0 $$

Левая часть этого уравнения является полным квадратом разности: $(x - 2)^2 = 0$.
Отсюда следует, что $x - 2 = 0$, то есть $x = 2$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 0$).

Случай 2: $y = \frac{1}{4}$

Подставляем второе значение $y$:

$$ \frac{x^2 + 4}{x} = \frac{1}{4} $$

Используем перекрестное умножение:

$$ 4(x^2 + 4) = 1 \cdot x $$

$$ 4x^2 + 16 = x $$

$$ 4x^2 - x + 16 = 0 $$

Для решения этого квадратного уравнения также вычислим дискриминант:

$$ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 16 = 1 - 256 = -255 $$

Так как дискриминант $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, исходное уравнение имеет только один действительный корень $x=2$.

Выполним проверку, подставив $x=2$ в исходное уравнение:

$$ \frac{2^2 + 4}{2} + \frac{2}{2^2 + 4} = \frac{4 + 4}{2} + \frac{2}{4 + 4} = \frac{8}{2} + \frac{2}{8} = 4 + \frac{1}{4} = \frac{16}{4} + \frac{1}{4} = \frac{17}{4} $$

$\frac{17}{4} = \frac{17}{4}$. Равенство выполняется, следовательно, корень найден верно.

Ответ: $2$.

16. Найдите корни уравнения

$\frac{x+\frac{2}{x}}{\left(x-1+\frac{2}{x}\right)^2} = \frac{3}{4}$

Дано уравнение:

$$ \frac{x + \frac{2}{x}}{\left(x - 1 + \frac{2}{x}\right)^2} = \frac{3}{4} $$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Во-первых, знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. Во-вторых, знаменатель всей левой части уравнения также не должен быть равен нулю:

$\left(x - 1 + \frac{2}{x}\right)^2 \neq 0 \implies x - 1 + \frac{2}{x} \neq 0$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$\frac{x \cdot x}{x} - \frac{1 \cdot x}{x} + \frac{2}{x} = \frac{x^2 - x + 2}{x} \neq 0$

Это условие выполняется, если числитель $x^2 - x + 2 \neq 0$. Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$. Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент (при $x^2$) положителен, то выражение $x^2 - x + 2$ всегда больше нуля. Таким образом, единственным ограничением ОДЗ является $x \neq 0$.

Для упрощения решения введем замену. Пусть $y = x + \frac{2}{x}$. Тогда выражение в знаменателе можно представить как:

$x - 1 + \frac{2}{x} = \left(x + \frac{2}{x}\right) - 1 = y - 1$

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$$ \frac{y}{(y - 1)^2} = \frac{3}{4} $$

Решим полученное уравнение относительно $y$. Используем правило пропорции:

$4y = 3(y - 1)^2$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$4y = 3(y^2 - 2y + 1)$

$4y = 3y^2 - 6y + 3$

$3y^2 - 10y + 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$

$y_1 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$

$y_2 = \frac{10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Теперь сделаем обратную замену для каждого найденного значения $y$.

1) При $y = 3$:

$x + \frac{2}{x} = 3$

Умножим обе части на $x$ (так как $x \neq 0$):

$x^2 + 2 = 3x$

$x^2 - 3x + 2 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Отсюда находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

2) При $y = \frac{1}{3}$:

$x + \frac{2}{x} = \frac{1}{3}$

Умножим обе части на $3x$:

$3x^2 + 6 = x$

$3x^2 - x + 6 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 1 - 72 = -71$

Так как дискриминант отрицательный, это уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, решениями исходного уравнения являются только $x=1$ и $x=2$.

Ответ: $1; 2$.

4. Скорый и пассажирский поезд идут навстречу друг другу по параллельным путям со скоростями 60 и 48 км/ч соответственно. Пассажир, сидящий во втором поезде, заметил, что скорый поезд шёл мимо него в течение 5 с. Найдите длину скорого поезда.

Заполните пропуски и закончите решение задачи.

Пусть $x$ км — длина скорого поезда. Тогда пассажир, си-дящий в пассажирском поезде, проехал расстояние, равное ...... км за 5 с = ...... ч со скоростью, равной скорости сближения поездов, т. е. ...... км/ч. Значит, $x$ = ...... (км) = ...... (м) — длина поезда.

........................

Решение. Чтобы решить задачу, необходимо найти скорость сближения поездов, а затем, используя время, за которое скорый поезд прошел мимо пассажира, рассчитать длину скорого поезда по формуле "расстояние = скорость × время".

1. Находим скорость сближения.
Поскольку поезда движутся навстречу друг другу, их скорости складываются:
$v_{сбл} = 60 \text{ км/ч} + 48 \text{ км/ч} = 108 \text{ км/ч}$.

2. Приводим время к единой системе измерения.
Скорость дана в км/ч, а время в секундах. Переведем 5 секунд в часы, зная, что в одном часе 3600 секунд:
$t = 5 \text{ с} = \frac{5}{3600} \text{ ч}$.

3. Вычисляем длину поезда.
Длина поезда ($L$) — это расстояние, которое он проходит относительно пассажира со скоростью сближения за указанное время:
$L = v_{сбл} \cdot t = 108 \text{ км/ч} \cdot \frac{5}{3600} \text{ ч} = \frac{540}{3600} \text{ км} = 0.15 \text{ км}$.

4. Переводим результат в метры.
$L = 0.15 \text{ км} = 0.15 \cdot 1000 \text{ м} = 150 \text{ м}$.

Заполненный текст из задания будет выглядеть следующим образом:

Пусть $x$ км — длина скорого поезда. Тогда пассажир, сидящий в пассажирском поезде, проехал расстояние, равное $x$ км за $5$ с = $\frac{5}{3600}$ ч со скоростью, равной скорости сближения поездов, т. е. $108$ км/ч. Значит, $x = 108 \cdot \frac{5}{3600} = 0.15$ (км) = $150$ (м) — длина поезда.

Ответ: $150$ м.

5. Требуется огородить участок прямоугольной формы, одна сторона которого на 10 м больше другой. Найдите длину изгороди, если известно, что площадь участка равна $1200 \text{ м}^2$. Заполните пропуски и закончите решение задачи.

Решение.

Пусть меньшая сторона участка равна $x \text{ м}$, тогда большая

сторона — .................... м. Площадь участка равна ..................., что по

условию задачи составляет $1200 \text{ м}^2$. Составим и решим уравне-

ние:

............................

............................

............................

............................

............................

............................

............................

............................

............................

Большая сторона участка равна .............................. м, длина изгороди

равна ............................. м.

Ответ: ...................

Решение.

Пусть меньшая сторона участка равна $x$ м, тогда большая сторона — $(x + 10)$ м. Площадь участка равна $x(x + 10)$ м², что по условию задачи составляет 1200 м². Составим и решим уравнение:

$x(x + 10) = 1200$
$x^2 + 10x - 1200 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант ($D = b^2 - 4ac$):
$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1200) = 100 + 4800 = 4900$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 + \sqrt{4900}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 70}{2} = \frac{60}{2} = 30$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 - \sqrt{4900}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 70}{2} = \frac{-80}{2} = -40$

Длина стороны не может быть отрицательной, поэтому корень $x_2 = -40$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, меньшая сторона участка равна 30 м.

Большая сторона участка равна $30 + 10 = 40$ м.

Длина изгороди — это периметр прямоугольного участка, который вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$:
$P = 2 \cdot (30 + 40) = 2 \cdot 70 = 140$ м.

Ответ: 140 м.