Страница 76, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

4. Товарный поезд был задержан в пути на 30 мин, а затем на расстоянии 90 км наверстал потерянное время, увеличив скорость на 15 км/ч. Найдите первоначальную скорость поезда.

Решение.

Решение.

Пусть $x$ км/ч — первоначальная скорость товарного поезда. После увеличения скорости она стала равна $(x + 15)$ км/ч.

Время, которое поезд должен был затратить на прохождение 90 км с первоначальной скоростью, составляет $t_1 = \frac{90}{x}$ часов.

После увеличения скорости поезд проехал 90 км за время $t_2 = \frac{90}{x + 15}$ часов.

Поезд был задержан на 30 минут, что составляет $30 \text{ мин} = 0.5$ часа. Эту задержку он наверстал на 90-километровом участке, то есть проехал его на 0.5 часа быстрее, чем планировалось.

Таким образом, разница между плановым временем и фактическим временем прохождения этого участка равна времени задержки. Составим и решим уравнение:

$t_1 - t_2 = 0.5$

$\frac{90}{x} - \frac{90}{x + 15} = 0.5$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

$\frac{90(x + 15) - 90x}{x(x + 15)} = 0.5$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$\frac{90x + 1350 - 90x}{x^2 + 15x} = 0.5$

$\frac{1350}{x^2 + 15x} = 0.5$

Используя свойство пропорции, получим:

$0.5(x^2 + 15x) = 1350$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$x^2 + 15x = 2700$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 15x - 2700 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2700) = 225 + 10800 = 11025$

$\sqrt{D} = \sqrt{11025} = 105$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-15 + 105}{2 \cdot 1} = \frac{90}{2} = 45$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-15 - 105}{2 \cdot 1} = \frac{-120}{2} = -60$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -60$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, первоначальная скорость поезда была 45 км/ч.

Ответ: 45 км/ч.

5. Два ученика должны были обработать по 120 деталей за определённый срок. Первый из них, обрабатывая на 2 детали в час больше второго, за 3 ч до срока обработал 136 деталей. За сколько часов первый ученик обработал 136 деталей?

Решение.

Заполним таблицу:

Работа, дет. Производительность, дет./ч Время, ч

Первый ученик 136

Второй ученик 120

По условию задачи первый ученик работал на 3 ч меньше второго ученика. Составим и решим уравнение:

Решение.

Пусть производительность второго ученика равна $x$ деталей в час. Согласно условию, первый ученик обрабатывал на 2 детали в час больше, следовательно, его производительность равна $(x+2)$ деталей в час.

Определённый срок, за который должны были быть выполнены работы, можно определить как время, необходимое второму ученику для обработки плановых 120 деталей. Таким образом, этот срок составляет $T = \frac{120}{x}$ часов.

Первый ученик фактически обработал 136 деталей. Время, которое он на это затратил, составляет $t_1 = \frac{136}{x+2}$ часов.

По условию задачи, первый ученик закончил работу за 3 часа до установленного срока. Это означает, что время его работы на 3 часа меньше, чем плановый срок $T$. На основе этого можно составить уравнение:

$t_1 = T - 3$

$\frac{136}{x+2} = \frac{120}{x} - 3$

Для решения уравнения перегруппируем слагаемые:

$\frac{120}{x} - \frac{136}{x+2} = 3$

Приведем левую часть к общему знаменателю $x(x+2)$:

$\frac{120(x+2) - 136x}{x(x+2)} = 3$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{120x + 240 - 136x}{x(x+2)} = 3$

$\frac{240 - 16x}{x(x+2)} = 3$

Умножим обе части на знаменатель $x(x+2)$, учитывая, что производительность $x > 0$:

$240 - 16x = 3x(x+2)$

$240 - 16x = 3x^2 + 6x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$0 = 3x^2 + 6x + 16x - 240$

$3x^2 + 22x - 240 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 22^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-240) = 484 + 2880 = 3364$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{3364} = 58$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-22 + 58}{2 \cdot 3} = \frac{36}{6} = 6$

$x_2 = \frac{-22 - 58}{2 \cdot 3} = \frac{-80}{6} = -\frac{40}{3}$

Так как производительность не может быть отрицательной, единственным решением, удовлетворяющим условию задачи, является $x=6$. Это производительность второго ученика (6 деталей в час).

Производительность первого ученика равна $x+2 = 6+2 = 8$ деталей в час.

Теперь ответим на главный вопрос задачи: за сколько часов первый ученик обработал 136 деталей. Для этого разделим количество деталей на производительность первого ученика:

Время = $\frac{136}{8} = 17$ часов.

Ответ: 17 часов.

11. Найдите с помощью графиков число корней уравнения:

а) $ \sqrt{x} = -x^2 + 1 $

б) $ x^3 = \frac{5}{x} $

Заполните таблицы и постройте графики.

x

y

x

y

x

y

x

y

a) y

x

0

1

б) y

x

0

1

Ответ: a) Ответ: б)

Чтобы найти число корней уравнения $\sqrt{x} = -x^2 + 1$, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = \sqrt{x}$ и $y = -x^2 + 1$. Количество точек пересечения этих графиков будет равно количеству корней исходного уравнения.

1. Построим график функции $y = \sqrt{x}$. Это стандартная функция квадратного корня, ее график — ветвь параболы, лежащая на боку. Область определения функции: $x \ge 0$. Составим таблицу значений для построения:

2. Построим график функции $y = -x^2 + 1$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Ее вершина находится в точке $(0; 1)$, так как график $y=-x^2$ смещен на 1 единицу вверх по оси OY. Составим таблицу значений:

Построим эскизы графиков в одной системе координат. График $y=\sqrt{x}$ выходит из начала координат и плавно возрастает. График $y=-x^2+1$ — это парабола с вершиной в $(0,1)$ и ветвями вниз. Видно, что графики пересекаются только в одной точке, которая находится в первой координатной четверти. Следовательно, уравнение имеет один корень.

Ответ: 1.

Чтобы найти число корней уравнения $x^3 = \frac{5}{x}$, построим в одной системе координат графики функций $y = x^3$ и $y = \frac{5}{x}$. Число корней уравнения равно числу точек пересечения графиков. Важно отметить, что из вида уравнения следует $x \neq 0$.

1. Построим график функции $y = x^3$. Это кубическая парабола, симметричная относительно начала координат. Составим таблицу значений:

2. Построим график функции $y = \frac{5}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. График также симметричен относительно начала координат. Составим таблицу значений:

Построим эскизы графиков. В первой четверти ($x>0$) функция $y=x^3$ возрастает, а функция $y=\frac{5}{x}$ убывает. Это означает, что они могут пересечься не более одного раза. Такое пересечение существует, так как при $x=1$ значение кубической параболы (1) меньше значения гиперболы (5), а при $x=2$ значение кубической параболы (8) больше значения гиперболы (2.5). Таким образом, в первой четверти есть одна точка пересечения.
Поскольку обе функции, $y=x^3$ и $y=\frac{5}{x}$, являются нечетными, их графики симметричны относительно начала координат. Следовательно, если есть точка пересечения в первой четверти, то обязательно есть и симметричная ей точка пересечения в третьей четверти. Таким образом, всего имеется две точки пересечения.

Ответ: 2.