Страница 79, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

10. Бассейн наполняется водой с помощью двух труб. Когда первая труба проработала 7 ч, включили вторую трубу. Вместе они работали 2 ч. За сколько часов может наполнить бассейн первая труба, работая отдельно, если ей потребуется на это на 4 ч больше, чем второй?

Решение. Заполним таблицу:

По условию задачи первая труба работала ..................... ч и заполнила ..................... (часть бассейна), вторая труба за ..................... ч заполнила ..................... (часть бассейна). В результате они вместе заполнили бассейн, т. е. выполнили всю работу.

Составим и решим уравнение:

Решение. Заполним таблицу:

Пусть время, необходимое второй трубе для заполнения бассейна, составляет $x$ часов. Согласно условию, первой трубе потребуется на 4 часа больше, то есть $(x+4)$ часов. Всю работу по заполнению бассейна примем за 1 единицу. Производительность (скорость заполнения) вычисляется как отношение работы ко времени.

Из условия задачи следует, что первая труба работала сначала 7 часов одна, а потом еще 2 часа вместе со второй. Таким образом, общее время работы первой трубы составило $7 + 2 = 9$ часов. За это время она выполнила часть работы, равную $9 \cdot \frac{1}{x+4} = \frac{9}{x+4}$.

Вторая труба работала только 2 часа вместе с первой и за это время выполнила часть работы, равную $2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x}$.

Так как в результате совместной работы они заполнили весь бассейн, сумма выполненных ими частей работы равна 1.

Составим и решим уравнение:

$\frac{9}{x+4} + \frac{2}{x} = 1$

Область допустимых значений для переменной $x$ — $x > 0$, поскольку время не может быть отрицательным или равным нулю. Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $x(x+4)$:

$\frac{9x + 2(x+4)}{x(x+4)} = 1$

Умножим обе части уравнения на $x(x+4)$, так как на ОДЗ он не равен нулю:

$9x + 2(x+4) = x(x+4)$

Раскроем скобки:

$9x + 2x + 8 = x^2 + 4x$

Приведем подобные слагаемые и запишем уравнение в стандартном виде $ax^2+bx+c=0$:

$11x + 8 = x^2 + 4x$

$x^2 - 7x - 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 7, а их произведение равно -8. Корнями являются числа 8 и -1.

$x_1 = 8$, $x_2 = -1$.

Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $x > 0$, поэтому он является посторонним.

Следовательно, время, за которое вторая труба может наполнить бассейн, работая отдельно, равно 8 часам.

Теперь найдем время, необходимое для наполнения бассейна первой трубой:

$x + 4 = 8 + 4 = 12$ (часов).

Ответ: 12 часов.

16. Напишите уравнение прямой, которая проходит через точки:

а) $A (28; 0)$ и $B (0; 7);$

......................

......................

......................

......................

......................

......................

б) $M (-1; -5)$ и $N (5; 7).$

......................

......................

......................

......................

......................

......................

Ответ: а) ......................

б) ......................

а) Для нахождения уравнения прямой, проходящей через точки A (28; 0) и B (0; 7), можно использовать несколько способов. Поскольку данные точки являются точками пересечения прямой с осями координат, наиболее удобным является уравнение прямой в отрезках.

Уравнение прямой в отрезках имеет вид: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$, где $a$ — это абсцисса точки пересечения прямой с осью Ox, а $b$ — это ордината точки пересечения с осью Oy.

Из координат точек A(28; 0) и B(0; 7) следует, что $a = 28$ и $b = 7$.

Подставим эти значения в формулу:

$\frac{x}{28} + \frac{y}{7} = 1$

Это уже является уравнением прямой. Для удобства можно привести его к общему виду $Ax + By + C = 0$ или к виду с угловым коэффициентом $y = kx + b$. Умножим обе части уравнения на 28 (наименьшее общее кратное знаменателей 28 и 7):

$28 \cdot \frac{x}{28} + 28 \cdot \frac{y}{7} = 28 \cdot 1$

$x + 4y = 28$

Перенесем 28 в левую часть, чтобы получить общее уравнение:

$x + 4y - 28 = 0$

Или выразим $y$, чтобы получить уравнение с угловым коэффициентом:

$4y = -x + 28$

$y = -\frac{1}{4}x + 7$

Ответ: $y = -\frac{1}{4}x + 7$ (или $x + 4y - 28 = 0$).

б) Для нахождения уравнения прямой, проходящей через точки M (–1; –5) и N (5; 7), воспользуемся каноническим уравнением прямой, проходящей через две заданные точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Подставим координаты точек M и N, где $x_1 = -1, y_1 = -5, x_2 = 5, y_2 = 7$:

$\frac{x - (-1)}{5 - (-1)} = \frac{y - (-5)}{7 - (-5)}$

Упростим выражение:

$\frac{x + 1}{6} = \frac{y + 5}{12}$

Для того чтобы получить уравнение в виде $y = kx + b$, воспользуемся пропорцией (умножим крест-накрест) или умножим обе части на 12:

$12 \cdot \frac{x + 1}{6} = y + 5$

$2(x + 1) = y + 5$

Раскроем скобки:

$2x + 2 = y + 5$

Теперь выразим $y$:

$y = 2x + 2 - 5$

$y = 2x - 3$

Ответ: $y = 2x - 3$.

17. Парабола $y = ax^2 + c$ проходит через точки $A(2; -1)$ и $B(3; -6)$.

Найдите значения $a$ и $c$.

Решение.

Поскольку парабола, заданная уравнением $y = ax^2 + c$, проходит через точки A(2; -1) и B(3; -6), координаты этих точек должны удовлетворять уравнению параболы. Это позволяет нам составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $a$ и $c$.

Сначала подставим координаты точки A(2; -1) в уравнение параболы, где $x=2$ и $y=-1$:
$-1 = a \cdot (2)^2 + c$
$-1 = 4a + c$

Затем подставим координаты точки B(3; -6) в то же уравнение, где $x=3$ и $y=-6$:
$-6 = a \cdot (3)^2 + c$
$-6 = 9a + c$

В результате мы получили систему линейных уравнений: $ \begin{cases} 4a + c = -1 \\ 9a + c = -6 \end{cases} $

Для решения этой системы удобно использовать метод вычитания. Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти значение $a$:
$(9a + c) - (4a + c) = -6 - (-1)$
$9a + c - 4a - c = -5$
$5a = -5$
$a = \frac{-5}{5} = -1$

Теперь, зная значение $a = -1$, мы можем найти $c$, подставив это значение в любое из уравнений. Используем первое уравнение $4a + c = -1$:
$4(-1) + c = -1$
$-4 + c = -1$
$c = -1 + 4$
$c = 3$

Таким образом, мы нашли искомые значения коэффициентов.

Ответ: $a = -1$, $c = 3$.