Страница 78, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

8. Расстояние между пристанями А и В равно 24 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 15 км. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения равна 5 км/ч.

Решение. Пусть $x$ км/ч — собственная скорость моторной лодки.

Заполним таблицу:

v, км/ч s, км t, ч

По течению реки

Против течения

Плот плыл .................... ч, а моторная лодка потратила на дорогу туда и обратно времени на 1 ч меньше, чем понадобилось плоту, т. е. .................... ч.

Составим и решим уравнение:

Решение.

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость моторной лодки. Из условия известно, что скорость течения реки равна 5 км/ч. Тогда скорость лодки по течению реки составляет $(x+5)$ км/ч, а скорость лодки против течения — $(x-5)$ км/ч. Расстояние между пристанями A и B равно 24 км.

Заполним таблицу:

Плот плыл ... ч, а моторная лодка потратила на дорогу туда и обратно времени на 1 ч меньше, чем понадобилось плоту, т. е. ... ч.

Найдем значения для пропусков в этом утверждении. Скорость плота равна скорости течения реки, то есть 5 км/ч. По условию, к моменту возвращения лодки в пункт А, плот проплыл 15 км. Следовательно, время движения плота составляет:

$t_{плота} = \frac{s_{плота}}{v_{плота}} = \frac{15 \text{ км}}{5 \text{ км/ч}} = 3$ часа.

Моторная лодка отправилась на 1 час позже плота, поэтому ее общее время движения на 1 час меньше, чем у плота:

$t_{лодки} = 3 \text{ часа} - 1 \text{ час} = 2$ часа.

Таким образом, утверждение будет выглядеть так: Плот плыл 3 ч, а моторная лодка потратила на дорогу туда и обратно времени на 1 ч меньше, чем понадобилось плоту, т. е. 2 ч.

Составим и решим уравнение:

Общее время движения лодки равно сумме времени движения по течению и против течения. Используя данные из таблицы и найденное общее время движения лодки (2 часа), получаем уравнение:

$\frac{24}{x+5} + \frac{24}{x-5} = 2$

По смыслу задачи, собственная скорость лодки должна быть больше скорости течения, чтобы она могла двигаться против течения, поэтому $x > 5$.

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$\frac{12}{x+5} + \frac{12}{x-5} = 1$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x+5)(x-5) = x^2 - 25$:

$\frac{12(x-5) + 12(x+5)}{(x+5)(x-5)} = 1$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{12x - 60 + 12x + 60}{x^2 - 25} = 1$

$\frac{24x}{x^2 - 25} = 1$

При условии $x^2 - 25 \neq 0$, это уравнение равносильно следующему:

$24x = x^2 - 25$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 24x - 25 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 24, а их произведение равно -25. Корни уравнения:

$x_1 = 25$

$x_2 = -1$

Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию задачи, так как скорость не может быть отрицательной. Корень $x_1 = 25$ удовлетворяет условию $x > 5$.

Следовательно, собственная скорость моторной лодки равна 25 км/ч.

Ответ: 25 км/ч.

9. Две точки равномерно вращаются по окружности. Одна из них совершает полный оборот на 10 с быстрее, чем другая, и потому успевает сделать за минуту на 1 оборот больше, чем вторая. Сколько оборотов в минуту совершает каждая точка?

Решение. Заполним таблицу:

v, об./мин s, об. t, мин

Первая точка $x + 1$ 1

Вторая точка $x$ 1

По условию задачи, чтобы сделать 1 полный оборот, первая точка потратила времени на 10 с = ............ мин меньше, чем понадобилось второй точке.

Составим и решим уравнение:

Решение.

Пусть $x$ об/мин - это скорость вращения (частота) второй точки. Согласно условию, первая точка совершает на 1 оборот в минуту больше, следовательно, ее скорость составляет $(x+1)$ об/мин. Для составления уравнения найдем время, которое требуется каждой точке для совершения одного полного оборота ($s=1$ оборот). Время $t$ вычисляется по формуле $t = \frac{s}{v}$, где $v$ - это скорость вращения.

Заполним таблицу, подставив известные значения:

По условию задачи, чтобы сделать 1 полный оборот, первая точка потратила времени на 10 с меньше, чем понадобилось второй точке. Для согласования единиц измерения переведем 10 секунд в минуты:

$10 \text{ с} = \frac{10}{60} \text{ мин} = \frac{1}{6} \text{ мин}$

Так как первая точка вращается быстрее, время на один оборот у нее меньше. Это означает, что разница между временем второй точки ($t_2$) и временем первой точки ($t_1$) равна $\frac{1}{6}$ минуты.

Составим и решим уравнение:

$t_2 - t_1 = \frac{1}{6}$

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} = \frac{1}{6}$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $x(x+1)$:

$\frac{1 \cdot (x+1) - 1 \cdot x}{x(x+1)} = \frac{1}{6}$

$\frac{x+1-x}{x(x+1)} = \frac{1}{6}$

$\frac{1}{x^2+x} = \frac{1}{6}$

Из равенства дробей следует равенство их знаменателей (по свойству пропорции):

$x^2 + x = 6$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + x - 6 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-6$. Методом подбора находим корни:

$x_1 = 2$

$x_2 = -3$

Корень $x = -3$ не удовлетворяет условию задачи, так как скорость вращения (количество оборотов в минуту) не может быть отрицательной величиной. Следовательно, единственное подходящее решение - это $x = 2$.

Таким образом, скорость второй точки составляет $x = 2$ оборота в минуту.

Тогда скорость первой точки равна $x+1 = 2+1 = 3$ оборота в минуту.

Ответ: первая точка совершает 3 оборота в минуту, а вторая точка — 2 оборота в минуту.

14. Расстояние, равное 24 км, лодка проплыла по течению реки за 4 ч, а против течения — за 6 ч. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки.

Заполните таблицу и закончите решение задачи.

Решение. Пусть $x$ км/ч — собственная скорость лодки, $y$ км/ч — скорость течения реки.

По условию задачи, лодка проплыла 24 км как по течению реки, так и против течения. Составим и решим систему уравнений:

Ответ:

Решение. Пусть $x$ км/ч — собственная скорость лодки, $y$ км/ч — скорость течения реки.

Заполните таблицу и закончите решение задачи.

По условию задачи, лодка проплыла 24 км как по течению реки, так и против течения. Составим и решим систему уравнений:

Используя формулу пути $S = v \cdot t$, где $S$ — расстояние, $v$ — скорость, а $t$ — время, составим два уравнения.

1. Движение по течению: скорость лодки равна сумме ее собственной скорости и скорости течения, то есть $x + y$. Получаем уравнение:
$(x+y) \cdot 4 = 24$

2. Движение против течения: скорость лодки равна разности ее собственной скорости и скорости течения, то есть $x - y$. Получаем уравнение:
$(x-y) \cdot 6 = 24$

Объединим эти уравнения в систему:

$ \begin{cases} 4(x+y) = 24 \\ 6(x-y) = 24 \end{cases} $

Упростим каждое уравнение, разделив его на коэффициент перед скобками:

$ \begin{cases} x+y = 6 \\ x-y = 4 \end{cases} $

Решим систему методом алгебраического сложения. Сложим левые и правые части уравнений:

$(x+y) + (x-y) = 6 + 4$

$2x = 10$

$x = 5$

Теперь подставим найденное значение $x$ в первое уравнение системы ($x+y=6$), чтобы найти $y$:

$5 + y = 6$

$y = 6 - 5$

$y = 1$

Таким образом, собственная скорость лодки составляет 5 км/ч, а скорость течения реки — 1 км/ч.

Ответ: собственная скорость лодки — 5 км/ч, скорость течения реки — 1 км/ч.

15. Найдите два числа, сумма которых равна 3, а сумма их квадратов равна 29.

Заполните пропуски и закончите решение задачи.

Решение.

Пусть первое число равно $x$, а второе — $y$. Тогда их сумма равна $x + y$, что по условию задачи равно 3.

Следовательно, $x + y = 3$ (1)

Сумма их квадратов равна $x^2 + y^2$, что по условию задачи равно 29, следовательно, $x^2 + y^2 = 29$ (2)

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её:

Ответ: а) ...................., б) ....................

Решение. Пусть первое число равно $x$, а второе — $y$. Тогда их сумма равна $x + y$, что по условию задачи равно 3.

Следовательно, $x + y = 3$ (1)

Сумма их квадратов равна $x^2 + y^2$, что по условию задачи равно 29, следовательно, $x^2 + y^2 = 29$ (2)

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её:

$ \begin{cases} x + y = 3 \\ x^2 + y^2 = 29 \end{cases} $

Для решения системы используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $y$ через $x$:

$y = 3 - x$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$x^2 + (3 - x)^2 = 29$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 + (9 - 6x + x^2) = 29$

Приведём подобные слагаемые:

$2x^2 - 6x + 9 = 29$

Перенесём 29 в левую часть уравнения, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2x^2 - 6x + 9 - 29 = 0$

$2x^2 - 6x - 20 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$x^2 - 3x - 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$

Найдём корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Теперь найдём соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$:

1. Если $x_1 = 5$, то $y_1 = 3 - x_1 = 3 - 5 = -2$.

2. Если $x_2 = -2$, то $y_2 = 3 - x_2 = 3 - (-2) = 5$.

В обоих случаях мы получили одну и ту же пару чисел: 5 и -2.

Проверим найденные числа:

Сумма чисел: $5 + (-2) = 3$.

Сумма их квадратов: $5^2 + (-2)^2 = 25 + 4 = 29$.

Оба условия задачи выполняются.

Ответ: 5 и -2.