Страница 85, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

7. Решите систему неравенств:

a) $\begin{cases} x^2 - 4x - 32 \le 0 \\ 0,3x < 1,5 \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 \le 16 \\ 1,2x - 3,6 \le 0 \end{cases}$

a) б)

а)

Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 - 4x - 32 \le 0, \\ 0,3x < 1,5; \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 4x - 32 \le 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 4x - 32 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144 = 12^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 12}{2} = -4$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 12}{2} = 8$.
Графиком функции $y = x^2 - 4x - 32$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции не положительны ($ \le 0 $) на промежутке между корнями, включая сами корни.
Следовательно, решение первого неравенства: $x \in [-4, 8]$.

2. Решим второе неравенство: $0,3x < 1,5$.
Разделим обе части на 0,3:
$x < \frac{1,5}{0,3}$
$x < 5$
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 5)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.
Нам нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям: $x \in [-4, 8]$ и $x \in (-\infty, 5)$.
Пересечением этих двух множеств является промежуток $[-4, 5)$.

Ответ: $x \in [-4, 5)$.

б)

Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 \le 16, \\ 1,2x - 3,6 \le 0. \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $x^2 \le 16$.
Это неравенство равносильно $|x| \le 4$.
Раскрывая модуль, получаем двойное неравенство: $-4 \le x \le 4$.
Решение первого неравенства: $x \in [-4, 4]$.

2. Решим второе неравенство: $1,2x - 3,6 \le 0$.
Перенесем -3,6 в правую часть:
$1,2x \le 3,6$
Разделим обе части на 1,2:
$x \le \frac{3,6}{1,2}$
$x \le 3$
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 3]$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.
Нам нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям: $x \in [-4, 4]$ и $x \in (-\infty, 3]$.
Пересечением этих двух множеств является промежуток $[-4, 3]$.

Ответ: $x \in [-4, 3]$.

8. На рисунке изображены схематически графики функций $y = x^2 + 11$, $y = -x^2 - 6$, $y = x^2 - 4x + 3$, $y = -x^2 - 3x + 10$. Около каждого графика запишите соответствующую формулу вида $y = f(x)$ и укажите множество решений неравенства $f(x) > 0$.

График 1 (слева направо):

$y = x^2 - 4x + 3$

$f(x) > 0$: $x \in (-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$

График 2 (слева направо):

$y = -x^2 - 6$

$f(x) > 0$: $x \in \emptyset$

График 3 (слева направо):

$y = x^2 + 11$

$f(x) > 0$: $x \in (-\infty, +\infty)$

График 4 (слева направо):

$y = -x^2 - 3x + 10$

$f(x) > 0$: $x \in (-5, 2)$

Для решения задачи сопоставим каждый из графиков с одной из предложенных функций и для каждой функции решим неравенство $f(x) > 0$. Анализ будем проводить по направлению ветвей параболы (знаку коэффициента $a$ при $x^2$) и наличию/отсутствию точек пересечения с осью Ox (знаку дискриминанта $D$).

На графике изображена парабола с ветвями, направленными вверх ($a > 0$), которая пересекает ось Ox в двух точках ($D > 0$).

Из предложенных функций условию $a > 0$ удовлетворяют $y = x^2 + 11$ и $y = x^2 - 4x + 3$.

Для функции $y = x^2 + 11$ дискриминант $D = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = -44 < 0$, поэтому она не имеет точек пересечения с осью Ox.

Для функции $y = x^2 - 4x + 3$ дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 > 0$, она имеет два корня. Следовательно, этому графику соответствует данная формула.

Теперь решим неравенство $x^2 - 4x + 3 > 0$. Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Ответ: формула $y = x^2 - 4x + 3$, множество решений $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$.

На графике изображена парабола с ветвями вниз ($a < 0$), которая не пересекает ось Ox ($D < 0$).

Из предложенных функций условию $a < 0$ удовлетворяют $y = -x^2 - 6$ и $y = -x^2 - 3x + 10$.

Для функции $y = -x^2 - 3x + 10$ дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 10 = 9 + 40 = 49 > 0$, она имеет два корня.

Для функции $y = -x^2 - 6$ дискриминант $D = 0^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-6) = -24 < 0$, она не имеет корней. Это соответствует графику.

Решим неравенство $-x^2 - 6 > 0$. График этой функции полностью расположен под осью Ox, то есть $y < 0$ для любого значения $x$. Следовательно, неравенство не имеет решений.

Ответ: формула $y = -x^2 - 6$, множество решений $\emptyset$ (нет решений).

На графике изображена парабола с ветвями вверх ($a > 0$), которая не пересекает ось Ox ($D < 0$).

Как мы уже установили при анализе первого графика, из двух функций с $a > 0$ условию $D < 0$ (нет корней) удовлетворяет функция $y = x^2 + 11$. Ее вершина находится в точке $(0, 11)$, что соответствует схематическому изображению.

Решим неравенство $x^2 + 11 > 0$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $x^2 + 11 \ge 11 > 0$. Неравенство выполняется для любого действительного числа $x$.

Ответ: формула $y = x^2 + 11$, множество решений $x \in (-\infty; +\infty)$.

На графике изображена парабола с ветвями вниз ($a < 0$), которая пересекает ось Ox в двух точках ($D > 0$).

Как мы установили при анализе второго графика, из двух функций с $a < 0$ условию $D > 0$ (два корня) удовлетворяет функция $y = -x^2 - 3x + 10$.

Решим неравенство $-x^2 - 3x + 10 > 0$. Найдем корни уравнения $-x^2 - 3x + 10 = 0$ (что эквивалентно $x^2 + 3x - 10 = 0$). По теореме Виета $x_1 \cdot x_2 = -10$ и $x_1 + x_2 = -3$. Корни: $x_1 = -5$ и $x_2 = 2$. Так как ветви параболы направлены вниз, функция принимает положительные значения на интервале между корнями.

Ответ: формула $y = -x^2 - 3x + 10$, множество решений $x \in (-5; 2)$.

26. Найдите с помощью графиков число корней уравнения:

a) $-x^2 + 2x + 1 = \frac{2}{x}$;

б) $(x-2)^2 = 4 - x$.

Заполните таблицы:

x

y

x

y

x

y

x

y

a) y

1

0

1

x

б) y

1

0

1

x

Ответ: a) ..................... б) .....................

a)

Чтобы найти число корней уравнения $-x^2 + 2x + 1 = \frac{2}{x}$, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = -x^2 + 2x + 1$ и $y = \frac{2}{x}$. Количество точек пересечения этих графиков будет равно количеству корней исходного уравнения.

1. Построим график функции $y = -x^2 + 2x + 1$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный. Найдем координаты вершины параболы по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{2}{2(-1)} = 1$.

$y_0 = -(1)^2 + 2(1) + 1 = -1 + 2 + 1 = 2$.

Вершина параболы находится в точке $(1; 2)$. Составим таблицу значений:

2. Построим график функции $y = \frac{2}{x}$. Это гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях. Составим таблицу значений:

3. Построив оба графика в одной системе координат, мы увидим, что они пересекаются в трех точках. Координаты точек пересечения: $(-1; -2)$, $(1; 2)$ и $(2; 1)$.

Ответ: 3

b)

Чтобы найти число корней уравнения $(x-2)^2 = 4 - x$, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = (x - 2)^2$ и $y = 4 - x$. Количество точек пересечения этих графиков будет равно количеству корней исходного уравнения.

1. Построим график функции $y = (x - 2)^2$. Это парабола, полученная сдвигом графика $y = x^2$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ох. Вершина параболы находится в точке $(2; 0)$, а ветви направлены вверх. Составим таблицу значений:

2. Построим график функции $y = 4 - x$. Это прямая. Для ее построения достаточно двух точек. Составим таблицу значений:

3. Построив оба графика в одной системе координат, мы увидим, что они пересекаются в двух точках. Координаты точек пересечения: $(0; 4)$ и $(3; 1)$.

Ответ: 2