Страница 87, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

11. Решите систему неравенств:

a) $\begin{cases} x^2 - 49 \le 0, \\ 6x + 12 > 3x; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 - 10x \le -21, \\ 4(x - 1) < 17 - x. \end{cases}$

а) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 - 49 \le 0, \\ 6x + 12 > 3x; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 49 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 49 = 0$. Это разность квадратов: $(x-7)(x+7) = 0$. Корни: $x_1 = -7$ и $x_2 = 7$.

Так как это парабола с ветвями вверх, то значения функции $y=x^2-49$ не положительны ($ \le 0 $) между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение первого неравенства: $x \in [-7, 7]$.

2. Решим второе неравенство: $6x + 12 > 3x$.

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$6x - 3x > -12$

$3x > -12$

Разделим обе части на 3:

$x > -4$

Решение второго неравенства: $x \in (-4, +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Нам нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют одновременно условиям $x \in [-7, 7]$ и $x > -4$. Пересечением этих двух множеств является промежуток от -4 (не включая) до 7 (включая).

Ответ: $(-4, 7]$.

б) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 - 10x \le -21, \\ 4(x-1) < 17 - x; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 10x \le -21$.

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного неравенства:

$x^2 - 10x + 21 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 10x + 21 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 10, а произведение 21. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 7$.

Это парабола с ветвями вверх, поэтому значения функции $y = x^2 - 10x + 21$ не положительны ($ \le 0 $) между корнями, включая сами корни.

Решение первого неравенства: $x \in [3, 7]$.

2. Решим второе неравенство: $4(x-1) < 17 - x$.

Раскроем скобки:

$4x - 4 < 17 - x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$4x + x < 17 + 4$

$5x < 21$

Разделим обе части на 5:

$x < \frac{21}{5}$ или $x < 4.2$

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 4.2)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Нам нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют одновременно условиям $x \in [3, 7]$ и $x < 4.2$. Пересечением этих двух множеств является промежуток от 3 (включая) до 4.2 (не включая).

Ответ: $[3, 4.2)$.

12. При каких значениях с решением неравенства $x^2 - 6x + c > 0$ является любое число?

Чтобы неравенство $x^2 - 6x + c > 0$ было верным для любого значения $x$, необходимо, чтобы график квадратичной функции $f(x) = x^2 - 6x + c$ полностью лежал выше оси абсцисс (оси Ox).

Графиком данной функции является парабола. Для того чтобы парабола находилась полностью выше оси Ox, должны выполняться два условия:

1. Ветви параболы должны быть направлены вверх. Это определяется коэффициентом при $x^2$. В нашем случае он равен $1$, что больше нуля ($1 > 0$), так что это условие выполнено.
2. Парабола не должна пересекать ось Ox и не должна касаться ее. Это означает, что квадратное уравнение $x^2 - 6x + c = 0$ не должно иметь действительных корней.

Квадратное уравнение не имеет действительных корней, когда его дискриминант (D) отрицателен ($D < 0$).

Найдем дискриминант уравнения $x^2 - 6x + c = 0$. Коэффициенты этого уравнения: $a = 1$, $b = -6$, и свободный член, который мы ищем, это $c$.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Подставим значения коэффициентов в формулу: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot c = 36 - 4c$

Теперь применим условие $D < 0$: $36 - 4c < 0$

Решим это неравенство относительно $c$: $36 < 4c$

Разделим обе части неравенства на 4 (так как 4 - положительное число, знак неравенства не меняется): $9 < c$

Таким образом, при $c > 9$ решение неравенства $x^2 - 6x + c > 0$ — любое число.

Ответ: $c > 9$

28. Два равных по массе слитка имеют различное содержание меди. От каждого слитка отрезали по $3/4$ и каждый из отрезанных кусков сплавили с остатком другого слитка. В результате оказалось, что в первом слитке процентное содержание меди в 2 раза выше, чем во втором. Во сколько раз во втором слитке было первоначально меди больше, чем в первом?

Заполните таблицы и закончите решение задачи.

Решение. Пусть $A$ кг — масса каждого слитка.

После того как от каждого слитка отрезали по $3/4$ и каждый из отрезанных кусков сплавили с остатком другого слитка, масса каждого слитка не изменилась, изменились массы чистой меди в каждом слитке, а значит, и их концентрации:

Так как в результате оказалось, что в первом слитке процентное содержание (а значит, и концентрация) меди в 2 раза выше, чем во втором, то

........................

Выразим $y$ через $x$:

........................

........................

Следовательно,

........................

Ответ:

........................

Пусть A кг — масса каждого слитка. Введем переменные для первоначальной концентрации меди (в долях от единицы):

• $x$ — концентрация меди в первом слитке.
• $y$ — концентрация меди во втором слитке.

Тогда первоначальная масса меди в первом слитке составляла $xA$ кг, а во втором — $yA$ кг.

Заполните таблицы и закончите решение задачи.

Заполним таблицы в соответствии с условием задачи.

Таблица исходного состояния ("Было"):

От каждого слитка отрезали кусок массой $\frac{3}{4}A$. Оставшаяся часть каждого слитка имеет массу $A - \frac{3}{4}A = \frac{1}{4}A$. Затем отрезанный кусок от второго слитка ($\frac{3}{4}A$ с концентрацией $y$) сплавили с остатком первого ($\frac{1}{4}A$ с концентрацией $x$). И наоборот. Масса каждого нового слитка осталась равной $A$.

Масса меди в новом первом слитке: (медь в остатке 1-го) + (медь в куске 2-го) = $(\frac{1}{4} \cdot xA) + (\frac{3}{4} \cdot yA)$.
Масса меди в новом втором слитке: (медь в остатке 2-го) + (медь в куске 1-го) = $(\frac{1}{4} \cdot yA) + (\frac{3}{4} \cdot xA)$.

Концентрация — это отношение массы меди к общей массе слитка ($A$).

Таблица конечного состояния ("Стало"):

По условию, концентрация меди в первом новом слитке оказалась в 2 раза выше, чем во втором. Составим уравнение на основе концентраций:

$\frac{1}{4}x + \frac{3}{4}y = 2 \left( \frac{1}{4}y + \frac{3}{4}x \right)$

Выразим y через x:

Решим полученное уравнение. Сначала умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дробей:

$4 \cdot \left(\frac{1}{4}x + \frac{3}{4}y\right) = 4 \cdot 2 \cdot \left(\frac{1}{4}y + \frac{3}{4}x\right)$

$x + 3y = 2(y + 3x)$

Раскроем скобки в правой части:

$x + 3y = 2y + 6x$

Сгруппируем слагаемые с $y$ в левой части, а с $x$ — в правой:

$3y - 2y = 6x - x$

$y = 5x$

Следовательно,

первоначальная концентрация меди во втором слитке была в 5 раз выше, чем в первом. Вопрос задачи — "во сколько раз во втором слитке было первоначально меди больше, чем в первом". Для ответа на этот вопрос найдем отношение их масс меди:

$\frac{\text{масса меди во 2-м слитке}}{\text{масса меди в 1-м слитке}} = \frac{yA}{xA} = \frac{y}{x}$

Подставим найденное соотношение $y = 5x$:

$\frac{y}{x} = \frac{5x}{x} = 5$

Ответ:

Первоначально меди во втором слитке было в 5 раз больше, чем в первом.