Страница 74, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

1. Числитель дроби на 5 меньше знаменателя. Если числитель уменьшить на 2, а знаменатель увеличить на 2, то полученная дробь будет равна $\frac{1}{2}$. Найдите первоначальную дробь.

Решение. Пусть $x$ — числитель дроби, тогда знаменатель дроби ....................

............ После указанных изменений числителя и знаменателя данной дроби новая дробь будет иметь вид — ..................., что по условию задачи равно $\frac{1}{2}$.

Составим и решим уравнение:

Решение. Пусть $x$ — числитель дроби, тогда, согласно условию, знаменатель дроби равен $x+5$. Первоначальная дробь имеет вид $\frac{x}{x+5}$.

После того как числитель уменьшили на 2, он стал равен $x-2$. А знаменатель увеличили на 2, и он стал равен $(x+5)+2 = x+7$.

Новая дробь имеет вид $\frac{x-2}{x+7}$, что по условию задачи равно $\frac{1}{2}$.

Составим и решим уравнение:

$\frac{x-2}{x+7} = \frac{1}{2}$

Для решения этого уравнения воспользуемся свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$2 \cdot (x-2) = 1 \cdot (x+7)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$2x - 4 = x + 7$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть уравнения, а числовые слагаемые — в правую, изменяя их знаки на противоположные:

$2x - x = 7 + 4$

Приведем подобные слагаемые:

$x = 11$

Таким образом, мы нашли числитель первоначальной дроби, он равен 11.

Теперь найдем знаменатель первоначальной дроби:

$x+5 = 11+5=16$

Следовательно, искомая первоначальная дробь — это $\frac{11}{16}$.

Проверка: числитель 11 на 5 меньше знаменателя 16. Уменьшаем числитель на 2: $11-2=9$. Увеличиваем знаменатель на 2: $16+2=18$. Полученная дробь $\frac{9}{18}$ при сокращении на 9 действительно равна $\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{11}{16}$.

2. Расстояние между городами А и В равно 420 км. Из города А выехали одновременно два автомобиля, причём скорость первого из них больше скорости второго на 10 км/ч, поэтому он прибыл в город В на 1 ч раньше, чем второй автомобиль. Найдите скорости автомобилей.

Решение.

Пусть скорость первого автомобиля равна $x$ км/ч, тогда

скорость второго — $(x-10)$ км/ч. Время, затраченное на

дорогу первым автомобилем, равно $420/x$ ч, а вторым —

$420/(x-10)$ ч. Второй автомобиль затратил на 1 ч больше времени.

Составим и решим уравнение:

Решение. Пусть скорость первого автомобиля равна $x$ км/ч, тогда скорость второго — $x-10$ км/ч. Время, затраченное на дорогу первым автомобилем, равно $\frac{420}{x}$ ч, а вторым — $\frac{420}{x-10}$ ч. Второй автомобиль затратил на 1 ч больше времени.

Составим и решим уравнение:

Так как второй автомобиль был в пути на 1 час дольше, чем первый, разница во времени их движения равна 1.
$\frac{420}{x-10} - \frac{420}{x} = 1$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $x(x-10)$. Область допустимых значений переменной $x$ определяется условиями $x \neq 0$ и $x \neq 10$. Так как $x$ — это скорость, то $x>0$. Из условия, что скорость первого автомобиля больше скорости второго, следует, что $x > 10$.
$\frac{420x - 420(x-10)}{x(x-10)} = 1$

Раскроем скобки в числителе дроби:
$\frac{420x - 420x + 4200}{x^2 - 10x} = 1$
$\frac{4200}{x^2 - 10x} = 1$

Это уравнение равносильно системе:
$x^2 - 10x = 4200$
$x^2 - 10x \neq 0$

Решим первое уравнение, перенеся все слагаемые в левую часть:
$x^2 - 10x - 4200 = 0$

Найдем дискриминант квадратного уравнения по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4200) = 100 + 16800 = 16900$
$\sqrt{D} = \sqrt{16900} = 130$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + 130}{2} = \frac{140}{2} = 70$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - 130}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Корень $x_2 = -60$ не удовлетворяет условию задачи, так как скорость не может быть отрицательной.
Следовательно, скорость первого автомобиля равна 70 км/ч. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($70 > 10$).

Теперь найдем скорость второго автомобиля:
$70 - 10 = 60$ км/ч.

Ответ: скорость первого автомобиля — 70 км/ч, скорость второго автомобиля — 60 км/ч.

8. Расстояние между двумя пунктами по реке равно 2 км. Лодка совершает путь в оба конца за 1 ч 30 мин. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 1 км/ч.

Заполните таблицу и закончите решение задачи.

Решение. Пусть $x$ км/ч — собственная скорость лодки.

По условию задачи, лодка совершает путь в оба конца за 1 ч 30 мин = ............ ч, значит, ..........................

Ответ: ......................

Решение.

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость лодки. Заполним таблицу, учитывая, что скорость течения реки равна 1 км/ч.

По условию задачи, лодка совершает путь в оба конца за 1 ч 30 мин = 1,5 ч, значит, время движения по течению плюс время движения против течения равно общему времени в пути. Составим и решим уравнение:

$\frac{2}{x+1} + \frac{2}{x-1} = 1.5$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 1$ и $x \neq -1$. Поскольку $x$ — это собственная скорость лодки, она должна быть положительной и превышать скорость течения, то есть $x > 1$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x+1)(x-1) = x^2-1$:

$\frac{2(x-1) + 2(x+1)}{x^2-1} = 1.5$

$\frac{2x - 2 + 2x + 2}{x^2-1} = 1.5$

$\frac{4x}{x^2-1} = 1.5$

Умножим обе части уравнения на $(x^2-1)$:

$4x = 1.5(x^2 - 1)$

$4x = 1.5x^2 - 1.5$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$1.5x^2 - 4x - 1.5 = 0$

Умножим все члены уравнения на 2, чтобы избавиться от дробных коэффициентов:

$3x^2 - 8x - 3 = 0$

Найдем корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$

$\sqrt{D} = 10$

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Корень $x_2 = -\frac{1}{3}$ не подходит по смыслу задачи, так как скорость не может быть отрицательной. Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию $x > 1$.

Таким образом, собственная скорость лодки равна 3 км/ч.

Ответ: 3 км/ч.

9. Две бригады за определённый срок должны были изготовить по 180 деталей. Изготовляя в час на 2 детали больше первой, вторая бригада выполнила задание на 3 ч раньше срока. За сколько часов каждая бригада выполнила задание?

Заполните таблицу и закончите решение задачи.

Решение.

По условию задачи, вторая бригада выполнила задание на 3 ч раньше срока, поэтому,

Заполним таблицу:

Закончим решение задачи:

По условию задачи, вторая бригада выполнила задание на 3 часа раньше первой. Это означает, что время работы первой бригады на 3 часа больше, чем время работы второй бригады. Составим уравнение:

$\frac{180}{x} - \frac{180}{x+2} = 3$

Чтобы решить уравнение, приведем левую часть к общему знаменателю $x(x+2)$:

$\frac{180(x+2) - 180x}{x(x+2)} = 3$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{180x + 360 - 180x}{x^2 + 2x} = 3$

$\frac{360}{x^2 + 2x} = 3$

Умножим обе части уравнения на $x^2 + 2x$ (учитывая, что производительность $x$ не может быть равна 0 или -2):

$360 = 3(x^2 + 2x)$

Разделим обе части на 3:

$120 = x^2 + 2x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 2x - 120 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 4 + 480 = 484$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{484}}{2} = \frac{-2 + 22}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{484}}{2} = \frac{-2 - 22}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

Поскольку производительность ($x$) не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -12$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, производительность первой бригады составляет 10 деталей в час.

Теперь найдем время, за которое каждая бригада выполнила задание:

Время работы первой бригады: $\frac{180}{x} = \frac{180}{10} = 18$ часов.

Время работы второй бригады: $\frac{180}{x+2} = \frac{180}{10+2} = \frac{180}{12} = 15$ часов.

Проверка: $18 - 15 = 3$ часа, что соответствует условию задачи.

Ответ: первая бригада выполнила задание за 18 часов, а вторая бригада — за 15 часов.