Страница 52, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

9. Прямая $x = -3$ пересекает параболу $y = 3,5x^2 + 1$ в точке С, а параболу $y = -2,5x^2 - 4$ в точке D. Не выполняя построения, найдите длину отрезка CD.

Ответ:

По условию, прямая $x = -3$ пересекает параболу $y = 3,5x^2 + 1$ в точке C. Это означает, что абсцисса точки C равна -3. Для нахождения ординаты $y_C$ подставим значение $x = -3$ в уравнение параболы:

$y_C = 3,5 \cdot (-3)^2 + 1 = 3,5 \cdot 9 + 1 = 31,5 + 1 = 32,5$

Таким образом, координаты точки C: $(-3; 32,5)$.

Аналогично, прямая $x = -3$ пересекает параболу $y = -2,5x^2 - 4$ в точке D. Абсцисса точки D также равна -3. Найдем ординату $y_D$, подставив $x = -3$ в уравнение второй параболы:

$y_D = -2,5 \cdot (-3)^2 - 4 = -2,5 \cdot 9 - 4 = -22,5 - 4 = -26,5$

Таким образом, координаты точки D: $(-3; -26,5)$.

Требуется найти длину отрезка CD. Так как точки C и D имеют одинаковую абсциссу ($x_C = x_D = -3$), отрезок CD является вертикальным, и его длина равна модулю разности ординат этих точек.

$CD = |y_C - y_D| = |32,5 - (-26,5)| = |32,5 + 26,5| = |59| = 59$

Ответ: 59

10. Постройте график функции $y = \frac{1}{2}(x - 3)^2 - 2$ на отрезке $[ -1; 6 ]$.

x   -1   0   1   2   3   4   5   6

y                                                        

Закончите запись:

$D(y)= \ldots, E(y)= \ldots$

$y=0$ при \ldots, $y>0$ при \ldots

\ldots, $y<0$ при \ldots

функция возрастает при \ldots

функция убывает при \ldots

наибольшее значение $y= \ldots$ функция принимает при $x=\ldots$

наименьшее значение $y= \ldots$ функция принимает при $x=\ldots$

Для решения задачи необходимо построить график функции $y = \frac{1}{2}(x - 3)^2 - 2$ на отрезке $[-1; 6]$ и на его основе определить свойства функции.

1. Заполнение таблицы и построение графика.

Сначала вычислим значения функции для целых чисел $x$ в заданном отрезке, чтобы получить точки для построения графика.

• При $x = -1$: $y = \frac{1}{2}(-1 - 3)^2 - 2 = \frac{1}{2}(-4)^2 - 2 = \frac{1}{2} \cdot 16 - 2 = 8 - 2 = 6$
• При $x = 0$: $y = \frac{1}{2}(0 - 3)^2 - 2 = \frac{1}{2}(-3)^2 - 2 = \frac{1}{2} \cdot 9 - 2 = 4.5 - 2 = 2.5$
• При $x = 1$: $y = \frac{1}{2}(1 - 3)^2 - 2 = \frac{1}{2}(-2)^2 - 2 = \frac{1}{2} \cdot 4 - 2 = 2 - 2 = 0$
• При $x = 2$: $y = \frac{1}{2}(2 - 3)^2 - 2 = \frac{1}{2}(-1)^2 - 2 = \frac{1}{2} \cdot 1 - 2 = 0.5 - 2 = -1.5$
• При $x = 3$: $y = \frac{1}{2}(3 - 3)^2 - 2 = \frac{1}{2}(0)^2 - 2 = 0 - 2 = -2$
• При $x = 4$: $y = \frac{1}{2}(4 - 3)^2 - 2 = \frac{1}{2}(1)^2 - 2 = \frac{1}{2} \cdot 1 - 2 = 0.5 - 2 = -1.5$
• При $x = 5$: $y = \frac{1}{2}(5 - 3)^2 - 2 = \frac{1}{2}(2)^2 - 2 = \frac{1}{2} \cdot 4 - 2 = 2 - 2 = 0$
• При $x = 6$: $y = \frac{1}{2}(6 - 3)^2 - 2 = \frac{1}{2}(3)^2 - 2 = \frac{1}{2} \cdot 9 - 2 = 4.5 - 2 = 2.5$

Заполненная таблица:

Построение графика: нанесите точки из таблицы на координатную плоскость и соедините их плавной линией. Вы получите часть параболы с вершиной в точке $(3, -2)$.

2. Заполнение пропусков на основе анализа функции и её графика.

$D(y)=$
Область определения функции $D(y)$ — это множество всех значений аргумента $x$. По условию задачи функция рассматривается на отрезке $[-1; 6]$.
Ответ: $D(y) = [-1; 6]$.

$E(y)=$
Область значений функции $E(y)$ — это множество всех значений, которые принимает $y$. Наименьшее значение функции достигается в вершине параболы, так как ветви направлены вверх. Вершина имеет координаты $(3, -2)$, и $x=3$ принадлежит отрезку $[-1; 6]$. Наибольшее значение на отрезке находится на одном из его концов: $y(-1)=6$, $y(6)=2.5$. Максимальное значение равно 6. Таким образом, область значений функции на отрезке — от $-2$ до $6$.
Ответ: $E(y) = [-2; 6]$.

$y=0$ при
Нули функции — это значения $x$, при которых $y=0$. Решим уравнение $\frac{1}{2}(x - 3)^2 - 2 = 0$. Перенесем 2 в правую часть и умножим на 2: $(x-3)^2 = 4$. Извлечем корень: $x-3 = \pm 2$. Получаем два корня: $x_1 = 3 - 2 = 1$ и $x_2 = 3 + 2 = 5$. Оба корня принадлежат отрезку $[-1; 6]$.
Ответ: $y=0$ при $x=1, x=5$.

$y>0$ при
Функция положительна, когда её график находится выше оси $Ox$. Это происходит на интервалах левее $x=1$ и правее $x=5$. Учитывая область определения $[-1; 6]$, получаем объединение промежутков.
Ответ: $y>0$ при $x \in [-1; 1) \cup (5; 6]$.

$y<0$ при
Функция отрицательна, когда её график находится ниже оси $Ox$. Это происходит на интервале между корнями.
Ответ: $y<0$ при $x \in (1; 5)$.

функция возрастает при
Парабола с ветвями вверх возрастает на промежутке справа от своей вершины ($x=3$). С учетом заданной области определения, функция возрастает на отрезке от $x=3$ до $x=6$.
Ответ: функция возрастает при $x \in [3; 6]$.

функция убывает при
Парабола с ветвями вверх убывает на промежутке слева от своей вершины ($x=3$). С учетом заданной области определения, функция убывает на отрезке от $x=-1$ до $x=3$.
Ответ: функция убывает при $x \in [-1; 3]$.

наибольшее значение $y=$ ... функция принимает при $x=$ ...
Наибольшее значение на отрезке для параболы с ветвями вверх достигается на одном из концов отрезка. Сравним значения: $y(-1)=6$ и $y(6)=2.5$. Наибольшее значение равно 6.
Ответ: наибольшее значение $y=6$ функция принимает при $x=-1$.

наименьшее значение $y=$ ... функция принимает при $x=$ ...
Вершина параболы $(3, -2)$ является точкой минимума. Так как $x=3$ входит в отрезок $[-1; 6]$, то наименьшее значение функции на этом отрезке равно $-2$.
Ответ: наименьшее значение $y=-2$ функция принимает при $x=3$.

11. При каких значениях c областью значений функции $y = 2(x-3)^2 + c^2 - 4c + 0.75$ является промежуток $[-3; +\infty)$?

Данная функция $y = 2(x-3)^2 + c^2 - 4c + 0.75$ представляет собой параболу, так как это квадратичная функция относительно переменной $x$.

Каноническое уравнение параболы с вершиной в точке $(h, k)$ имеет вид $y = a(x-h)^2 + k$. В данном уравнении мы можем определить следующие параметры: коэффициент $a=2$, абсцисса вершины $h=3$, и ордината вершины $k = c^2 - 4c + 0.75$.

Поскольку коэффициент $a=2$ является положительным числом ($a > 0$), ветви параболы направлены вверх. Это значит, что функция имеет наименьшее значение, которое достигается в вершине параболы.

Наименьшее значение функции равно ординате её вершины $k$. Таким образом, область значений функции (множество всех возможных значений $y$) определяется промежутком от наименьшего значения до плюс бесконечности.

Область значений функции: $E(y) = [y_{min}; +\infty) = [c^2 - 4c + 0.75; +\infty)$.

Согласно условию задачи, область значений функции должна быть $[-3; +\infty)$. Для этого необходимо, чтобы наименьшее значение функции было равно -3.

Составим и решим уравнение, приравняв ординату вершины к -3: $c^2 - 4c + 0.75 = -3$

Перенесем все члены в левую часть уравнения, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения: $c^2 - 4c + 0.75 + 3 = 0$ $c^2 - 4c + 3.75 = 0$

Для решения этого квадратного уравнения относительно $c$ воспользуемся формулой для нахождения корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае коэффициенты равны: $a=1$, $b=-4$, $c=3.75$.

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3.75 = 16 - 15 = 1$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их: $c_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 1}{2}$

Вычисляем значения для $c$: $c_1 = \frac{4 + 1}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$ $c_2 = \frac{4 - 1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$

Следовательно, при значениях $c = 1.5$ и $c = 2.5$ область значений заданной функции будет являться промежутком $[-3; +\infty)$.

Ответ: $1.5; 2.5$.

6. Найдите первый член геометрической прогрессии, знаменатель которой равен -2, а сумма первых пяти членов равна -66.

Для нахождения первого члена геометрической прогрессии ($b_1$) воспользуемся формулой суммы первых n членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

где $S_n$ — это сумма первых n членов, $b_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии.

Из условия задачи нам даны следующие значения:
Знаменатель прогрессии: $q = -2$.
Количество членов для суммирования: $n = 5$.
Сумма первых пяти членов: $S_5 = -66$.

Наша цель — найти $b_1$. Подставим известные данные в формулу:

$-66 = \frac{b_1((-2)^5 - 1)}{-2 - 1}$

Теперь выполним вычисления по шагам. Сначала вычислим значение $(-2)^5$:

$(-2)^5 = -2 \cdot -2 \cdot -2 \cdot -2 \cdot -2 = -32$

Теперь подставим это значение в наше уравнение:

$-66 = \frac{b_1(-32 - 1)}{-2 - 1}$

Выполним вычитание в числителе и знаменателе дроби:

$-66 = \frac{b_1(-33)}{-3}$

Упростим правую часть уравнения, разделив -33 на -3:

$\frac{-33}{-3} = 11$

Теперь уравнение выглядит так:

$-66 = b_1 \cdot 11$

Чтобы найти $b_1$, разделим обе части уравнения на 11:

$b_1 = \frac{-66}{11}$

$b_1 = -6$

Ответ: -6.

7. Найдите пропущенные члены $b_2$ и $b_3$ геометрической прогрессии

$\frac{1}{81}$, $b_2$, $b_3$, $\frac{1}{3}$, ... и вычислите сумму первых шести членов этой прогрессии.

Решение.

Выразим член $b_4$, равный $\frac{1}{3}$, через $b_1$ и $q$:

Найдем пропущенные члены $b_2$ и $b_3$

Дана геометрическая прогрессия, в которой нам известны первый член $b_1 = \frac{1}{81}$ и четвертый член $b_4 = \frac{1}{3}$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ — знаменатель прогрессии.

Используем эту формулу для четвертого члена прогрессии, чтобы найти знаменатель $q$:
$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$

Подставим известные значения в формулу:
$\frac{1}{3} = \frac{1}{81} \cdot q^3$

Выразим из этого уравнения $q^3$:
$q^3 = \frac{1}{3} \div \frac{1}{81} = \frac{1}{3} \cdot 81 = 27$

Отсюда находим знаменатель прогрессии:
$q = \sqrt[3]{27} = 3$

Теперь, зная знаменатель, можем найти пропущенные члены $b_2$ и $b_3$:
$b_2 = b_1 \cdot q = \frac{1}{81} \cdot 3 = \frac{3}{81} = \frac{1}{27}$
$b_3 = b_2 \cdot q = \frac{1}{27} \cdot 3 = \frac{3}{27} = \frac{1}{9}$

Ответ: $b_2 = \frac{1}{27}$, $b_3 = \frac{1}{9}$.

Вычислим сумму первых шести членов этой прогрессии

Для вычисления суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии используется формула:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

В нашем случае необходимо найти сумму первых шести членов ($n=6$), при известных $b_1 = \frac{1}{81}$ и $q=3$.

Подставим значения в формулу:
$S_6 = \frac{\frac{1}{81}(3^6 - 1)}{3 - 1}$

Произведем вычисления:
$3^6 = (3^3)^2 = 27^2 = 729$
$S_6 = \frac{\frac{1}{81}(729 - 1)}{2} = \frac{\frac{1}{81} \cdot 728}{2}$

$S_6 = \frac{728}{81 \cdot 2} = \frac{364}{81}$

Данная дробь является несократимой, так как 364 не делится на 3 (сумма цифр 3+6+4=13), а 81 делится только на 3.

Ответ: $S_6 = \frac{364}{81}$.

8. Докажите, что последовательность $(c_n)$, где $c_n = 4 \cdot 3^n$, является геометрической прогрессией, и вычислите сумму первых шести её членов.

Доказательство, что последовательность является геометрической прогрессией

По определению, последовательность является геометрической прогрессией, если отношение любого её члена к предыдущему является постоянной величиной. Эта величина называется знаменателем геометрической прогрессии и обозначается $q$.

Нам дана последовательность с общим членом $c_n = 4 \cdot 3^n$.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности, подставив $n+1$ вместо $n$: $c_{n+1} = 4 \cdot 3^{n+1}$.

Теперь найдем отношение $c_{n+1}$ к $c_n$:

$\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{4 \cdot 3^{n+1}}{4 \cdot 3^n} = \frac{3^{n+1}}{3^n} = 3^{n+1-n} = 3^1 = 3$.

Так как отношение $\frac{c_{n+1}}{c_n}$ равно постоянному числу $3$ для любого натурального $n$, данная последовательность $(c_n)$ является геометрической прогрессией со знаменателем $q=3$, что и требовалось доказать.

Ответ: последовательность $(c_n)$ является геометрической прогрессией со знаменателем $q=3$, так как отношение $\frac{c_{n+1}}{c_n}$ является постоянной величиной.

Вычисление суммы первых шести её членов

Сумма первых $k$ членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле: $S_k = \frac{c_1(q^k - 1)}{q - 1}$.

Нам нужно найти сумму первых шести членов, то есть $k=6$. Из первой части мы уже знаем знаменатель прогрессии $q=3$.

Найдем первый член прогрессии $c_1$, подставив $n=1$ в формулу общего члена:

$c_1 = 4 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12$.

Теперь подставим все известные значения в формулу суммы:

$S_6 = \frac{c_1(q^6 - 1)}{q - 1} = \frac{12(3^6 - 1)}{3 - 1}$.

Вычислим значение $3^6 = 729$ и подставим его в формулу:

$S_6 = \frac{12(729 - 1)}{2} = \frac{12 \cdot 728}{2} = 6 \cdot 728 = 4368$.

Ответ: 4368.