Страница 48, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

8. При каких значениях k парабола $y=kx^2$ не имеет общих точек с прямой $y=4x-1$?

Для того чтобы найти значения параметра $k$, при которых парабола $y=kx^2$ и прямая $y=4x-1$ не имеют общих точек, необходимо определить, при каких $k$ система уравнений не имеет решений:

$ \begin{cases} y = kx^2 \\ y = 4x - 1 \end{cases} $

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссы возможных точек пересечения:

$kx^2 = 4x - 1$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение в стандартном виде:

$kx^2 - 4x + 1 = 0$

Графики функций не имеют общих точек, если это уравнение не имеет действительных корней.

Рассмотрим два возможных случая.

1. Если $k=0$, уравнение становится линейным:

$0 \cdot x^2 - 4x + 1 = 0$

$-4x + 1 = 0$

$4x = 1$

$x = \frac{1}{4}$

В этом случае уравнение имеет один корень, а значит, графики имеют одну точку пересечения. Следовательно, значение $k=0$ не является решением задачи.

2. Если $k \neq 0$, уравнение $kx^2 - 4x + 1 = 0$ является квадратным. Оно не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ отрицателен ($D < 0$).

Вычислим дискриминант для этого уравнения, где коэффициенты $a=k$, $b=-4$, $c=1$:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot k \cdot 1 = 16 - 4k$

Теперь решим неравенство $D < 0$:

$16 - 4k < 0$

Перенесем $4k$ в правую часть:

$16 < 4k$

Разделим обе части неравенства на 4 (так как 4 > 0, знак неравенства сохраняется):

$4 < k$

Таким образом, при $k > 4$ уравнение не имеет действительных корней, а значит, парабола и прямая не имеют общих точек.

Ответ: $k > 4$.

9. При каких значениях k прямая $y=3-2x$ касается:

а) параболы $y=(k-2)x^2$;

б) гиперболы $y=\frac{k+1}{x}$?

а) параболы $y=(k-2)x^2$

Для того чтобы прямая $y=3-2x$ касалась параболы $y=(k-2)x^2$, система уравнений, описывающая их общие точки, должна иметь ровно одно решение. Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссы точек пересечения:

$3-2x = (k-2)x^2$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение относительно переменной $x$:

$(k-2)x^2 + 2x - 3 = 0$

При условии, что $k-2 \neq 0$ (т.е. $k \neq 2$), это уравнение является квадратным. Квадратное уравнение имеет единственное действительное решение, когда его дискриминант $D$ равен нулю. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

В нашем уравнении коэффициенты равны:

$a = k-2$

$b = 2$

$c = -3$

Вычислим дискриминант и приравняем его к нулю:

$D = 2^2 - 4 \cdot (k-2) \cdot (-3) = 0$

$4 + 12(k-2) = 0$

$4 + 12k - 24 = 0$

$12k - 20 = 0$

$12k = 20$

$k = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$

Это значение $k$ не равно 2, поэтому наше предположение было верным.

Отдельно рассмотрим случай $k=2$. Уравнение параболы превращается в $y = (2-2)x^2 = 0$. Это уравнение прямой (оси абсцисс). Прямая $y=3-2x$ пересекает прямую $y=0$ в одной точке, но не касается ее, так как их угловые коэффициенты различны ($-2$ и $0$). Касание подразумевает совпадение не только координат точки, но и наклона (производной) в этой точке.

Таким образом, единственное значение $k$, при котором прямая касается параболы, это $k = \frac{5}{3}$.

Ответ: $k = \frac{5}{3}$

б) гиперболы $y=\frac{k+1}{x}$

Условие касания прямой $y=3-2x$ и гиперболы $y=\frac{k+1}{x}$ также заключается в том, что система их уравнений должна иметь единственное решение. Заметим, что для гиперболы $x \neq 0$.

Приравняем правые части уравнений:

$3-2x = \frac{k+1}{x}$

Так как $x \neq 0$, мы можем умножить обе части уравнения на $x$:

$x(3-2x) = k+1$

$3x - 2x^2 = k+1$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$2x^2 - 3x + (k+1) = 0$

Это уравнение должно иметь одно действительное решение. Для этого его дискриминант $D$ должен быть равен нулю.

Коэффициенты уравнения:

$a = 2$

$b = -3$

$c = k+1$

Вычислим дискриминант и приравняем его к нулю:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (k+1) = 0$

$9 - 8(k+1) = 0$

$9 - 8k - 8 = 0$

$1 - 8k = 0$

$8k = 1$

$k = \frac{1}{8}$

При $k=\frac{1}{8}$ единственное решение для $x$ (абсцисса точки касания) равно $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4}$. Это значение не равно нулю, поэтому оно является допустимым.

Ответ: $k = \frac{1}{8}$

10. Прямая $x=2$ пересекает параболу $y=3x^2$ в точке A, а параболу $y = -\frac{1}{5}x^2$ в точке B. Изобразите схематически графики этих функций и определите длину отрезка AB.

Ответ:

1. Нахождение координат точек пересечения

Задача состоит в том, чтобы найти точки пересечения вертикальной прямой $x=2$ с двумя параболами.

Найдем координаты точки A, которая является точкой пересечения прямой $x=2$ и параболы $y=3x^2$. Для этого подставим значение $x=2$ в уравнение параболы:
$y_A = 3 \cdot (2)^2 = 3 \cdot 4 = 12$.
Таким образом, координаты точки A: $(2, 12)$.

Найдем координаты точки B, которая является точкой пересечения прямой $x=2$ и параболы $y = -\frac{1}{5}x^2$. Аналогично подставим $x=2$ в уравнение этой параболы:
$y_B = -\frac{1}{5} \cdot (2)^2 = -\frac{1}{5} \cdot 4 = -\frac{4}{5} = -0.8$.
Таким образом, координаты точки B: $(2, -0.8)$.

2. Схематическое изображение графиков

На координатной плоскости построим схематические графики данных функций.
- Парабола $y=3x^2$ имеет ветви, направленные вверх, и проходит через точку A(2, 12).
- Парабола $y=-\frac{1}{5}x^2$ имеет ветви, направленные вниз, и проходит через точку B(2, -0.8).
- Прямая $x=2$ является вертикальной линией, на которой лежат обе точки A и B.
Отрезок AB соединяет эти две точки.

3. Определение длины отрезка AB

Поскольку точки A$(2, 12)$ и B$(2, -0.8)$ имеют одинаковую абсциссу $x=2$, отрезок AB является вертикальным. Его длина равна модулю разности их ординат (y-координат).
Длину отрезка AB можно найти по формуле:
$AB = |y_A - y_B|$
Подставим найденные значения координат:
$AB = |12 - (-0.8)| = |12 + 0.8| = |12.8| = 12.8$.

Ответ: 12.8

12. Между числами 3 и 192 вставьте пять чисел, которые вместе с данными числами составляют геометрическую прогрессию.

Рассмотрите случаи:

а) все члены прогрессии — положительные числа;

б) в прогрессии чередуются положительные и отрицательные числа.

Ответ:

а) .........................

б) .........................

Пусть искомые числа вместе с данными числами 3 и 192 образуют геометрическую прогрессию $b_n$. Первый член этой прогрессии $b_1 = 3$. Поскольку между 3 и 192 нужно вставить пять чисел, общее количество членов в прогрессии составляет $1 + 5 + 1 = 7$. Таким образом, седьмой член прогрессии $b_7 = 192$.

Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ — знаменатель прогрессии. Для седьмого члена прогрессии имеем: $b_7 = b_1 \cdot q^{7-1}$ $192 = 3 \cdot q^6$

Из этого уравнения найдем знаменатель прогрессии $q$: $q^6 = \frac{192}{3}$ $q^6 = 64$ Уравнение имеет два действительных корня: $q = \sqrt[6]{64} = 2$ и $q = -\sqrt[6]{64} = -2$.

Теперь рассмотрим оба случая, указанные в условии задачи.

а) все члены прогрессии — положительные числа

Для того чтобы все члены прогрессии были положительными, при положительном первом члене ($b_1 = 3 > 0$) знаменатель прогрессии $q$ также должен быть положительным. Следовательно, выбираем значение $q = 2$. Найдем пять вставляемых чисел, которые являются членами прогрессии со второго по шестой:
$b_2 = b_1 \cdot q = 3 \cdot 2 = 6$
$b_3 = b_2 \cdot q = 6 \cdot 2 = 12$
$b_4 = b_3 \cdot q = 12 \cdot 2 = 24$
$b_5 = b_4 \cdot q = 24 \cdot 2 = 48$
$b_6 = b_5 \cdot q = 48 \cdot 2 = 96$
Проверка: $b_7 = b_6 \cdot q = 96 \cdot 2 = 192$, что соответствует условию.

Ответ: 6, 12, 24, 48, 96.

б) в прогрессии чередуются положительные и отрицательные числа

Для того чтобы знаки членов прогрессии чередовались, при положительном первом члене ($b_1 = 3 > 0$) знаменатель прогрессии $q$ должен быть отрицательным. Следовательно, выбираем значение $q = -2$. Найдем пять вставляемых чисел:
$b_2 = b_1 \cdot q = 3 \cdot (-2) = -6$
$b_3 = b_2 \cdot q = (-6) \cdot (-2) = 12$
$b_4 = b_3 \cdot q = 12 \cdot (-2) = -24$
$b_5 = b_4 \cdot q = (-24) \cdot (-2) = 48$
$b_6 = b_5 \cdot q = 48 \cdot (-2) = -96$
Проверка: $b_7 = b_6 \cdot q = (-96) \cdot (-2) = 192$, что соответствует условию.

Ответ: -6, 12, -24, 48, -96.

13. Изобразите первые пять членов геометрической прогрессии

$ \frac{1}{2} $, 1, 2, ....

а) на координатной прямой;

б) на координатной плоскости.

Дана геометрическая прогрессия $(b_n)$, первые члены которой $b_1 = \frac{1}{2}$, $b_2 = 1$, $b_3 = 2$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$. Знаменатель геометрической прогрессии — это число, на которое умножается каждый член прогрессии, чтобы получить следующий. Его можно найти, разделив любой член прогрессии (начиная со второго) на предыдущий.

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{1/2} = 2$.

Проверим: $b_3 = b_2 \cdot q = 1 \cdot 2 = 2$. Все верно.

Теперь найдем первые пять членов прогрессии, используя формулу $b_{n+1} = b_n \cdot q$:

• $b_1 = \frac{1}{2} = 0.5$
• $b_2 = b_1 \cdot q = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$
• $b_3 = b_2 \cdot q = 1 \cdot 2 = 2$
• $b_4 = b_3 \cdot q = 2 \cdot 2 = 4$
• $b_5 = b_4 \cdot q = 4 \cdot 2 = 8$

Итак, первые пять членов прогрессии: $0.5, 1, 2, 4, 8$.

а) на координатной прямой;

Чтобы изобразить эти числа на координатной прямой, нужно отметить точки, координаты которых соответствуют значениям членов прогрессии.

Ответ:

Изображение первых пяти членов прогрессии на координатной прямой:

б) на координатной плоскости.

При изображении последовательности на координатной плоскости по оси абсцисс ($x$) откладывается номер члена последовательности ($n$), а по оси ординат ($y$) — значение этого члена ($b_n$). Таким образом, мы строим точки с координатами $(n; b_n)$.

Для нашей прогрессии это будут следующие точки:

• $(1; 0.5)$
• $(2; 1)$
• $(3; 2)$
• $(4; 4)$
• $(5; 8)$

Ответ:

Изображение первых пяти членов прогрессии на координатной плоскости:

14. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии, в которой разность между четвёртым и вторым членами равна 96, а разность между пятым и третьим членами равна 288.

a) 0 1

б) y

0 1 x

1

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию задачи, разность между четвёртым и вторым членами равна 96. Запишем это в виде уравнения:

$b_4 - b_2 = 96$

Подставим выражения для членов прогрессии через $b_1$ и $q$:

$b_1 q^3 - b_1 q = 96$

Вынесем общий множитель $b_1$ за скобки:

$b_1(q^3 - q) = 96$ (1)

Также по условию, разность между пятым и третьим членами равна 288:

$b_5 - b_3 = 288$

Подставим выражения для членов прогрессии:

$b_1 q^4 - b_1 q^2 = 288$

Вынесем общий множитель $b_1$ за скобки:

$b_1(q^4 - q^2) = 288$

В выражении в скобках можно вынести $q$:

$b_1 q(q^3 - q) = 288$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} b_1(q^3 - q) = 96 \\ q \cdot [b_1(q^3 - q)] = 288 \end{cases} $

Подставим левую часть первого уравнения (равную 96) во второе уравнение:

$q \cdot 96 = 288$

Отсюда находим знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{288}{96} = 3$

Теперь, зная $q$, найдем первый член прогрессии $b_1$ из первого уравнения:

$b_1(3^3 - 3) = 96$

$b_1(27 - 3) = 96$

$b_1 \cdot 24 = 96$

$b_1 = \frac{96}{24} = 4$

Итак, первый член прогрессии $b_1 = 4$, а знаменатель $q = 3$.

Ответ: первый член равен 4, знаменатель равен 3.