Страница 41, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

10. Задайте уравнение функцию вида $y = \frac{k}{x}$, график которой изображён на рисунке.

a) ....................

....................

б) ....................

....................

Ответ: a) ............................. б) .............................

а) Заданная функция имеет вид $y = \frac{k}{x}$. График этой функции, называемый гиперболой, расположен во второй и четвертой координатных четвертях, что означает, что коэффициент $k$ должен быть отрицательным ($k < 0$).
Чтобы найти значение коэффициента $k$, выберем на графике любую точку с известными координатами. Например, из графика видно, что он проходит через точку с координатами $(1; -2)$.
Подставим значения $x=1$ и $y=-2$ в уравнение функции:
$-2 = \frac{k}{1}$
Отсюда следует, что $k = -2$.
Таким образом, искомое уравнение функции: $y = -\frac{2}{x}$.
Для проверки можно взять другую точку, например, $(-2; 1)$:
$1 = \frac{-2}{-2}$, что является верным равенством.
Ответ: $y = -\frac{2}{x}$

б) Заданная функция имеет вид $y = \frac{k}{x}$. Ветви этой гиперболы расположены в первой и третьей координатных четвертях, следовательно, коэффициент $k$ должен быть положительным ($k > 0$).
Чтобы найти значение коэффициента $k$, выберем на графике точку с известными координатами. Например, из графика видно, что он проходит через точку с координатами $(1; 1)$.
Подставим значения $x=1$ и $y=1$ в уравнение функции:
$1 = \frac{k}{1}$
Отсюда следует, что $k = 1$.
Таким образом, искомое уравнение функции: $y = \frac{1}{x}$.
Для проверки можно взять другую точку, например, $(2; 0.5)$:
$0.5 = \frac{1}{2}$, что является верным равенством.
Ответ: $y = \frac{1}{x}$

4. Найдите сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии $(b_n)$, в которой $b_1=-11, b_7=7$.

........................

........................

........................

........................

Ответ: ..................

Для того чтобы найти сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии $(b_n)$, нужно сначала найти ее разность $d$, а затем воспользоваться формулой суммы.

По условию даны первый член прогрессии $b_1 = -11$ и седьмой член $b_7 = 7$.

1. Нахождение разности прогрессии ($d$)

Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 + (n-1)d$. Подставим в эту формулу известные нам значения для седьмого члена ($n=7$):
$b_7 = b_1 + (7-1)d$
$7 = -11 + 6d$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $d$:
$6d = 7 + 11$
$6d = 18$
$d = \frac{18}{6}$
$d = 3$

2. Нахождение суммы первых двенадцати членов ($S_{12}$)

Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2b_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$. Подставим в нее наши значения: $n=12$, $b_1 = -11$ и $d=3$.
$S_{12} = \frac{2 \cdot (-11) + (12-1) \cdot 3}{2} \cdot 12$
$S_{12} = \frac{-22 + 11 \cdot 3}{2} \cdot 12$
$S_{12} = \frac{-22 + 33}{2} \cdot 12$
$S_{12} = \frac{11}{2} \cdot 12$
$S_{12} = 11 \cdot 6$
$S_{12} = 66$

Ответ: 66

5. Докажите, что последовательность, заданная формулой $a_n = 3,6n$, является арифметической прогрессией, и найдите сумму первых сорока её членов.

Решение. Найдём $a_{n+1}$ и покажем, что разность $a_{n+1} - a_n$ не зависит от $n$:

........................

........................

........................

........................

........................

Ответ: ..............................

1. Доказательство того, что последовательность является арифметической прогрессией

По определению, последовательность $(a_n)$ является арифметической прогрессией, если для любого натурального $n$ разность между последующим и предыдущим членами постоянна. Эта разность называется разностью прогрессии и обозначается $d$. То есть, необходимо показать, что $a_{n+1} - a_n = d$, где $d$ — константа.

Дана последовательность, заданная формулой $a_n = 3,6n$.

Найдём $(n+1)$-й член последовательности, подставив в формулу вместо $n$ выражение $(n+1)$:

$a_{n+1} = 3,6(n+1) = 3,6n + 3,6$

Теперь вычислим разность $a_{n+1} - a_n$:

$a_{n+1} - a_n = (3,6n + 3,6) - 3,6n = 3,6$

Так как разность $a_{n+1} - a_n$ равна постоянному числу $3,6$ и не зависит от $n$, данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d = 3,6$. Что и требовалось доказать.

2. Нахождение суммы первых сорока членов

Сумма первых $k$ членов арифметической прогрессии $(a_n)$ вычисляется по формуле:

$S_k = \frac{a_1 + a_k}{2} \cdot k$

В нашем случае требуется найти сумму первых сорока членов, то есть $k=40$. Для этого нам нужно найти первый член прогрессии $a_1$ и сороковой член $a_{40}$.

Найдём первый член $a_1$, подставив $n=1$ в исходную формулу:

$a_1 = 3,6 \cdot 1 = 3,6$

Найдём сороковой член $a_{40}$, подставив $n=40$ в исходную формулу:

$a_{40} = 3,6 \cdot 40 = 144$

Теперь подставим найденные значения $a_1$, $a_{40}$ и $k=40$ в формулу суммы:

$S_{40} = \frac{3,6 + 144}{2} \cdot 40 = \frac{147,6}{2} \cdot 40 = 73,8 \cdot 40 = 2952$

Ответ: доказано, что последовательность является арифметической прогрессией; сумма первых сорока её членов равна 2952.

6. Найдите сумму всех двузначных чисел, кратных 6.

Решение. Данная последовательность является ...................., в которой первый член равен ...................., а последний равен .................... . Найдём число членов этой про-грессии и вычислим их сумму:

Решение.

Последовательность всех двузначных чисел, кратных 6, является арифметической прогрессией.

Первый член этой прогрессии ($a_1$) — это наименьшее двузначное число, которое делится на 6. Это число 12.
Последний член ($a_n$) — это наибольшее двузначное число, которое делится на 6. Чтобы его найти, разделим 99 на 6: $99 : 6 = 16.5$. Берем целую часть 16 и умножаем на 6: $16 \cdot 6 = 96$. Итак, последний член равен 96.
Разность прогрессии ($d$) равна 6.

Найдём число членов этой прогрессии ($n$), используя формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
$96 = 12 + (n-1) \cdot 6$
$96 - 12 = (n-1) \cdot 6$
$84 = (n-1) \cdot 6$
$n - 1 = \frac{84}{6}$
$n - 1 = 14$
$n = 15$

Теперь вычислим сумму ($S_n$) этих 15 членов по формуле суммы арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
$S_{15} = \frac{12 + 96}{2} \cdot 15$
$S_{15} = \frac{108}{2} \cdot 15$
$S_{15} = 54 \cdot 15$
$S_{15} = 810$

Ответ: 810