Страница 40, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

7. Начертите график какой-либо функции, определённой на отрезке $[-9; 8]$, которая возрастает на промежутках $[-3; 2]$ и $[5; 8]$ и убывает на промежутках $[-9; -3]$ и $[2; 5]$.

Для построения графика функции, необходимо проанализировать заданные условия:

1. Область определения функции: $D(f) = [-9; 8]$. Это значит, что график должен существовать только для значений $x$ в этом отрезке.

2. Промежутки возрастания: функция возрастает на отрезках $[-3; 2]$ и $[5; 8]$. На этих участках график должен идти вверх при движении слева направо.

3. Промежутки убывания: функция убывает на отрезках $[-9; -3]$ и $[2; 5]$. На этих участках график должен идти вниз.

Из этих условий следует, что:

• В точке $x = -3$ убывание сменяется возрастанием, следовательно, это точка локального минимума.
• В точке $x = 2$ возрастание сменяется убыванием, следовательно, это точка локального максимума.
• В точке $x = 5$ убывание сменяется возрастанием, следовательно, это еще одна точка локального минимума.

Чтобы начертить один из возможных графиков, выберем конкретные значения функции (координаты по оси $y$) в граничных точках и точках экстремума. Эти значения могут быть любыми, главное — чтобы они соответствовали условиям возрастания и убывания.

Выберем следующие ключевые точки:

1. Пусть на левой границе области определения в точке $x = -9$ значение функции будет $f(-9) = 4$. Точка A(-9, 4).
2. На промежутке $[-9; -3]$ функция убывает, поэтому $f(-3)$ должно быть меньше $f(-9)$. Возьмем $f(-3) = -2$. Точка B(-3, -2) — локальный минимум.
3. На промежутке $[-3; 2]$ функция возрастает, поэтому $f(2)$ должно быть больше $f(-3)$. Возьмем $f(2) = 3$. Точка C(2, 3) — локальный максимум.
4. На промежутке $[2; 5]$ функция убывает, поэтому $f(5)$ должно быть меньше $f(2)$. Возьмем $f(5) = 0$. Точка D(5, 0) — локальный минимум.
5. На промежутке $[5; 8]$ функция возрастает, поэтому $f(8)$ должно быть больше $f(5)$. Возьмем $f(8) = 5$. Точка E(8, 5) на правой границе области определения.

Теперь соединим полученные точки A(-9, 4), B(-3, -2), C(2, 3), D(5, 0) и E(8, 5) последовательно. Для простоты можно использовать отрезки прямых. Полученный график будет удовлетворять всем условиям задачи.

Ответ:

8. Найдите нули функции и множества, на которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения:

a) $y=x^2-6x+5$

б) $y=x^3-0,49x$

2. Найдите промежутки знакопостоянства функции:

$5x+2$

Ответ:

a) б)

а) $y = x^2 - 6x + 5$

1. Найдём нули функции. Для этого необходимо решить уравнение $y=0$:
$x^2 - 6x + 5 = 0$
Это квадратное уравнение. Решим его через дискриминант:
$a=1, b=-6, c=5$
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 4}{2}$
$x_1 = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$x_2 = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5$
Нули функции: $x=1$ и $x=5$.

2. Найдём множества, на которых функция принимает положительные и отрицательные значения.
График функции $y = x^2 - 6x + 5$ — это парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен, $a=1>0$). Парабола пересекает ось абсцисс в точках, соответствующих нулям функции ($x=1$ и $x=5$).
Следовательно, значения функции положительны ($y>0$) на тех промежутках, где график параболы расположен выше оси Ox, и отрицательны ($y<0$) там, где он расположен ниже.
- Функция принимает положительные значения при $x \in (-\infty; 1) \cup (5; +\infty)$.
- Функция принимает отрицательные значения при $x \in (1; 5)$.

Ответ: Нули функции: $1; 5$. Функция принимает положительные значения на множестве $(-\infty; 1) \cup (5; +\infty)$. Функция принимает отрицательные значения на множестве $(1; 5)$.

б) $y = x^3 - 0,49x$

1. Найдём нули функции. Для этого решим уравнение $y=0$:
$x^3 - 0,49x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 0,49) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем:
$x=0$ или $x^2 - 0,49 = 0$
Решаем второе уравнение:
$x^2 = 0,49$
$x = \pm \sqrt{0,49}$
$x = \pm 0,7$
Нули функции: $x_1 = -0,7$, $x_2 = 0$, $x_3 = 0,7$.

2. Найдём множества, на которых функция принимает положительные и отрицательные значения.
Используем метод интервалов. Нанесём нули функции на числовую ось, которые разделят её на четыре интервала: $(-\infty; -0,7)$, $(-0,7; 0)$, $(0; 0,7)$, $(0,7; +\infty)$. Определим знак функции $y = x(x-0,7)(x+0,7)$ в каждом из интервалов.
- При $x \in (0,7; +\infty)$, например $x=1$: $y(1) = 1(1-0,49) = 0,51 > 0$. Знак «+».
- При $x \in (0; 0,7)$, например $x=0,1$: $y(0,1) = 0,1^3 - 0,49 \cdot 0,1 = 0,001 - 0,049 = -0,048 < 0$. Знак «-».
- При $x \in (-0,7; 0)$, например $x=-0,1$: $y(-0,1) = (-0,1)^3 - 0,49 \cdot (-0,1) = -0,001 + 0,049 = 0,048 > 0$. Знак «+».
- При $x \in (-\infty; -0,7)$, например $x=-1$: $y(-1) = (-1)^3 - 0,49 \cdot (-1) = -1 + 0,49 = -0,51 < 0$. Знак «-».
Таким образом:
- Функция принимает положительные значения ($y>0$) на множестве $(-0,7; 0) \cup (0,7; +\infty)$.
- Функция принимает отрицательные значения ($y<0$) на множестве $(-\infty; -0,7) \cup (0; 0,7)$.

Ответ: Нули функции: $-0,7; 0; 0,7$. Функция принимает положительные значения на множестве $(-0,7; 0) \cup (0,7; +\infty)$. Функция принимает отрицательные значения на множестве $(-\infty; -0,7) \cup (0; 0,7)$.

9. Задайте уравнением функцию вида $y = kx + b$, график которой изображён на рисунке.

a) б)

а)

Общий вид уравнения линейной функции — $y = kx + b$. Наша задача — найти коэффициенты $k$ и $b$ по графику.

Коэффициент $b$ — это ордината точки пересечения графика с осью $y$. По графику видно, что прямая пересекает ось $y$ в точке с координатами $(0, 1)$. Следовательно, $b = 1$.

Коэффициент $k$ (угловой коэффициент) определяет наклон прямой. Его можно найти по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, используя координаты двух любых точек $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, принадлежащих прямой.

Выберем на графике две точки с целочисленными координатами. Например, точка $A(0, 1)$ и точка $B(1, -2)$.

Подставим координаты этих точек в формулу для углового коэффициента:

$k = \frac{-2 - 1}{1 - 0} = \frac{-3}{1} = -3$

Теперь, зная $k = -3$ и $b = 1$, мы можем записать уравнение функции:

$y = -3x + 1$

Ответ: $y = -3x + 1$.

б)

Аналогично найдем уравнение для второго графика в виде $y = kx + b$.

Сначала определим коэффициент $b$. Прямая пересекает ось $y$ в точке с координатами $(0, -3)$. Значит, $b = -3$.

Теперь найдем угловой коэффициент $k$. Выберем две удобные точки на графике, например, точку $C(0, -3)$ и точку $D(2, -2)$.

Подставим их координаты в формулу $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$:

$k = \frac{-2 - (-3)}{2 - 0} = \frac{-2 + 3}{2} = \frac{1}{2}$

Мы нашли коэффициенты $k = \frac{1}{2}$ и $b = -3$. Подставим их в общее уравнение прямой:

$y = \frac{1}{2}x - 3$

Ответ: $y = \frac{1}{2}x - 3$.

1. Найдите сумму первых четырнадцати членов арифметической прогрессии ($a_n$), если:

a) $a_1=5$, $a_{14}=31;$

б) $a_1=-10$, $a_{14}=3.$

.............................

.............................

Ответ: a) ........................ б) ........................

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии используется формула:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

где $a_1$ — первый член прогрессии, $a_n$ — $n$-й член прогрессии, а $n$ — количество членов.

В обоих случаях нам нужно найти сумму первых четырнадцати членов, то есть $n=14$.

а)

Дано: $a_1 = 5$, $a_{14} = 31$.

Подставим эти значения в формулу для суммы $S_{14}$:

$S_{14} = \frac{a_1 + a_{14}}{2} \cdot 14$

$S_{14} = \frac{5 + 31}{2} \cdot 14$

$S_{14} = \frac{36}{2} \cdot 14$

$S_{14} = 18 \cdot 14$

$S_{14} = 252$

Ответ: 252.

б)

Дано: $a_1 = -10$, $a_{14} = 3$.

Подставим эти значения в формулу для суммы $S_{14}$:

$S_{14} = \frac{a_1 + a_{14}}{2} \cdot 14$

$S_{14} = \frac{-10 + 3}{2} \cdot 14$

$S_{14} = \frac{-7}{2} \cdot 14$

$S_{14} = -7 \cdot 7$

$S_{14} = -49$

Ответ: -49.

2. В арифметической прогрессии $a_1 = -3, d = 7$. Найдите сумму первых двенадцати членов этой прогрессии.

Ответ: ..........................

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии используется формула: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — количество членов, сумму которых нужно найти.

По условию задачи известны следующие параметры:

Первый член прогрессии: $a_1 = -3$.

Разность прогрессии: $d = 7$.

Количество членов для суммирования: $n = 12$.

Подставим эти значения в формулу для суммы первых двенадцати членов ($S_{12}$):

$S_{12} = \frac{2 \cdot (-3) + 7 \cdot (12-1)}{2} \cdot 12$

Выполним вычисления по шагам:

1. Сначала вычислим выражение в скобках: $12-1 = 11$.

$S_{12} = \frac{2 \cdot (-3) + 7 \cdot 11}{2} \cdot 12$

2. Теперь вычислим числитель дроби: $2 \cdot (-3) + 7 \cdot 11 = -6 + 77 = 71$.

$S_{12} = \frac{71}{2} \cdot 12$

3. Для удобства вычислений можно сначала разделить 12 на 2: $\frac{12}{2} = 6$.

$S_{12} = 71 \cdot 6$

4. Умножим 71 на 6, чтобы найти окончательную сумму:

$S_{12} = 426$

Таким образом, сумма первых двенадцати членов этой арифметической прогрессии равна 426.

Ответ: 426

3. Найдите сумму первых восьми членов арифметической прогрессии -19, -16, -13, .... Проверьте ответ, выписав указанные члены прогрессии и сложив их.

....................

....................

....................

....................

....................

Ответ: ...................

Найдите сумму первых восьми членов арифметической прогрессии -19, -16, -13, ...
Сначала определим параметры данной арифметической прогрессии. Первый член прогрессии $a_1 = -19$. Разность прогрессии $d$ — это постоянная величина, на которую каждый следующий член отличается от предыдущего. Найдем ее: $d = a_2 - a_1 = -16 - (-19) = -16 + 19 = 3$.
Теперь воспользуемся формулой для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.
Нам нужно найти сумму первых восьми членов, поэтому $n=8$. Подставим известные значения в формулу: $S_8 = \frac{2 \cdot (-19) + 3 \cdot (8-1)}{2} \cdot 8$
$S_8 = \frac{-38 + 3 \cdot 7}{2} \cdot 8$
$S_8 = \frac{-38 + 21}{2} \cdot 8$
$S_8 = \frac{-17}{2} \cdot 8$
$S_8 = -17 \cdot 4 = -68$.

Проверьте ответ, выписав указанные члены прогрессии и сложив их
Для проверки выпишем последовательно первые восемь членов прогрессии. Мы знаем, что $a_1 = -19$ и $d = 3$. Каждый следующий член получаем, прибавляя 3 к предыдущему:
$a_1 = -19$
$a_2 = -19 + 3 = -16$
$a_3 = -16 + 3 = -13$
$a_4 = -13 + 3 = -10$
$a_5 = -10 + 3 = -7$
$a_6 = -7 + 3 = -4$
$a_7 = -4 + 3 = -1$
$a_8 = -1 + 3 = 2$
Теперь сложим эти восемь членов: $S_8 = (-19) + (-16) + (-13) + (-10) + (-7) + (-4) + (-1) + 2 = -68$.
Результат проверки $(-68)$ совпадает с результатом, полученным по формуле, что подтверждает правильность решения.

Ответ: -68.