Номер 8, страница 40, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

8. Найдите нули функции и множества, на которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения:

a) $y=x^2-6x+5$

б) $y=x^3-0,49x$

2. Найдите промежутки знакопостоянства функции:

$5x+2$

Ответ:

a) б)

а) $y = x^2 - 6x + 5$

1. Найдём нули функции. Для этого необходимо решить уравнение $y=0$:
$x^2 - 6x + 5 = 0$
Это квадратное уравнение. Решим его через дискриминант:
$a=1, b=-6, c=5$
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 4}{2}$
$x_1 = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$x_2 = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5$
Нули функции: $x=1$ и $x=5$.

2. Найдём множества, на которых функция принимает положительные и отрицательные значения.
График функции $y = x^2 - 6x + 5$ — это парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен, $a=1>0$). Парабола пересекает ось абсцисс в точках, соответствующих нулям функции ($x=1$ и $x=5$).
Следовательно, значения функции положительны ($y>0$) на тех промежутках, где график параболы расположен выше оси Ox, и отрицательны ($y<0$) там, где он расположен ниже.
- Функция принимает положительные значения при $x \in (-\infty; 1) \cup (5; +\infty)$.
- Функция принимает отрицательные значения при $x \in (1; 5)$.

Ответ: Нули функции: $1; 5$. Функция принимает положительные значения на множестве $(-\infty; 1) \cup (5; +\infty)$. Функция принимает отрицательные значения на множестве $(1; 5)$.

б) $y = x^3 - 0,49x$

1. Найдём нули функции. Для этого решим уравнение $y=0$:
$x^3 - 0,49x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 0,49) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем:
$x=0$ или $x^2 - 0,49 = 0$
Решаем второе уравнение:
$x^2 = 0,49$
$x = \pm \sqrt{0,49}$
$x = \pm 0,7$
Нули функции: $x_1 = -0,7$, $x_2 = 0$, $x_3 = 0,7$.

2. Найдём множества, на которых функция принимает положительные и отрицательные значения.
Используем метод интервалов. Нанесём нули функции на числовую ось, которые разделят её на четыре интервала: $(-\infty; -0,7)$, $(-0,7; 0)$, $(0; 0,7)$, $(0,7; +\infty)$. Определим знак функции $y = x(x-0,7)(x+0,7)$ в каждом из интервалов.
- При $x \in (0,7; +\infty)$, например $x=1$: $y(1) = 1(1-0,49) = 0,51 > 0$. Знак «+».
- При $x \in (0; 0,7)$, например $x=0,1$: $y(0,1) = 0,1^3 - 0,49 \cdot 0,1 = 0,001 - 0,049 = -0,048 < 0$. Знак «-».
- При $x \in (-0,7; 0)$, например $x=-0,1$: $y(-0,1) = (-0,1)^3 - 0,49 \cdot (-0,1) = -0,001 + 0,049 = 0,048 > 0$. Знак «+».
- При $x \in (-\infty; -0,7)$, например $x=-1$: $y(-1) = (-1)^3 - 0,49 \cdot (-1) = -1 + 0,49 = -0,51 < 0$. Знак «-».
Таким образом:
- Функция принимает положительные значения ($y>0$) на множестве $(-0,7; 0) \cup (0,7; +\infty)$.
- Функция принимает отрицательные значения ($y<0$) на множестве $(-\infty; -0,7) \cup (0; 0,7)$.

Ответ: Нули функции: $-0,7; 0; 0,7$. Функция принимает положительные значения на множестве $(-0,7; 0) \cup (0,7; +\infty)$. Функция принимает отрицательные значения на множестве $(-\infty; -0,7) \cup (0; 0,7)$.