Номер 5, страница 39, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

5. Покажите с помощью стрелок, какие из данных функций являются возрастающими, какие — убывающими.

$y = -1,4x$

$y = 2x^3$

$y = -\frac{x}{6}$

$y = x^2 - 2$

Функция возрастающая

Функция убывающая

$y = \sqrt{x+2}$

$y = |x|$

$y = 7 + 4x$

$y = -x^3$

Чтобы определить, является ли функция возрастающей или убывающей, можно проанализировать ее вид, использовать определение монотонности или найти ее производную. Функция является возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция является убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Функция возрастающая

Функция $y = 2x^3$. Это степенная функция. Для любых действительных чисел $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $x_1^3 < x_2^3$. Умножение на положительное число $2$ не меняет знак неравенства, поэтому $2x_1^3 < 2x_2^3$. Следовательно, функция является возрастающей на всей числовой прямой. Также можно проанализировать производную: $y' = (2x^3)' = 6x^2$. Так как $y' \ge 0$ для всех $x$, функция является возрастающей.
Ответ: $y = 2x^3$ — возрастающая.

Функция $y = \sqrt{x} + 2$. Область определения этой функции — $x \ge 0$. Функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей на своей области определения. Прибавление константы $2$ сдвигает график функции вверх, но не меняет ее характер монотонности. Таким образом, для любых $x_1, x_2$ из области определения таких, что $x_1 < x_2$, выполняется $\sqrt{x_1} < \sqrt{x_2}$, и, следовательно, $\sqrt{x_1} + 2 < \sqrt{x_2} + 2$.
Ответ: $y = \sqrt{x} + 2$ — возрастающая.

Функция $y = 7 + 4x$. Это линейная функция вида $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k=4$. Поскольку коэффициент $k$ положительный ($k > 0$), функция является возрастающей на всей области определения.
Ответ: $y = 7 + 4x$ — возрастающая.

Функция убывающая

Функция $y = -1.4x$. Это линейная функция вида $y = kx + b$. Угловой коэффициент $k = -1.4$. Поскольку коэффициент $k$ отрицательный ($k < 0$), функция является убывающей на всей области определения.
Ответ: $y = -1.4x$ — убывающая.

Функция $y = -\frac{x}{6}$. Эту функцию можно записать в виде $y = (-\frac{1}{6})x$. Это линейная функция с угловым коэффициентом $k = -\frac{1}{6}$. Так как $k < 0$, функция является убывающей на всей числовой прямой.
Ответ: $y = -\frac{x}{6}$ — убывающая.

Функция $y = -x^3$. Это степенная функция. Для любых действительных чисел $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $x_1^3 < x_2^3$. При умножении на отрицательное число $-1$ знак неравенства меняется на противоположный: $-x_1^3 > -x_2^3$. Следовательно, функция является убывающей на всей числовой прямой. Производная $y' = (-x^3)' = -3x^2 \le 0$ для всех $x$, что также подтверждает убывание функции.
Ответ: $y = -x^3$ — убывающая.

Примечание: Функции $y = x^2 - 2$ и $y = |x|$ не являются монотонными на всей своей области определения. Например, функция $y = x^2 - 2$ (парабола с ветвями вверх) убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$. Функция $y = |x|$ убывает при $x \le 0$ и возрастает при $x \ge 0$. Поэтому их нельзя отнести ни к возрастающим, ни к убывающим на всей области определения.