Номер 11, страница 37, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

11. Постройте график функции $f$, зная, что при $x \geq 0$ её значения могут быть найдены по формуле:

a) $f(x)=x-2$ и $f$ — чётная функция;

б) $f(x)=x^2$ и $f$ — нечётная функция.

Задайте данную функцию формулой.

a) $x$

$y$

б) $x$

$y$

Ответ:

a) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} ... \\ ... \end{array} \right.$, б) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} ... \\ ... \end{array} \right.$.

a) Нам дано, что при $x \ge 0$ функция имеет вид $f(x) = x - 2$, и что функция $f$ является чётной.

1. Анализ и построение графика.
Сначала построим график для $x \ge 0$. Функция $f(x) = x - 2$ — это прямая. Найдём две точки: при $x=0, y=-2$ и при $x=2, y=0$. Таким образом, для $x \ge 0$ график является лучом с началом в точке $(0, -2)$, проходящим через точку $(2, 0)$.
По определению, чётная функция симметрична относительно оси OY, так как $f(-x) = f(x)$. Чтобы построить вторую часть графика (для $x < 0$), мы отражаем уже построенный луч относительно оси OY. Точка $(2, 0)$ отразится в точку $(-2, 0)$. Точка $(0, -2)$ останется на месте. В результате мы получим график, похожий на букву "V", с вершиной в точке $(0, -2)$.

2. Заполнение таблицы.
Выберем два симметричных значения $x$, например, $x=2$ и $x=-2$, чтобы заполнить два столбца в таблице.
- При $x=2$ (это $x > 0$), $f(2) = 2 - 2 = 0$.
- При $x=-2$, из-за чётности функции, $f(-2) = f(2) = 0$.
Заполненная таблица:
x | -2 | 2
y | 0 | 0

3. Задание функции формулой.
Нам известна формула для $x \ge 0$: $f(x) = x - 2$.
Для $x < 0$, используем свойство чётности $f(x) = f(-x)$. Так как $x < 0$, то $-x > 0$, и мы можем применить к $-x$ данную формулу:
$f(x) = f(-x) = (-x) - 2 = -x - 2$.
Объединяя оба случая, получаем кусочно-заданную функцию, которую также можно записать как $f(x) = |x| - 2$.
Ответ: a) $f(x) = \begin{cases} x - 2, & \text{при } x \ge 0 \\ -x - 2, & \text{при } x < 0 \end{cases}$

б) Нам дано, что при $x \ge 0$ функция имеет вид $f(x) = x^2$, и что функция $f$ является нечётной.

1. Анализ и построение графика.
Сначала построим график для $x \ge 0$. Функция $f(x) = x^2$ — это парабола. Для $x \ge 0$ мы строим её правую ветвь, выходящую из начала координат. Найдём несколько точек: $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 4)$.
По определению, нечётная функция симметрична относительно начала координат, так как $f(-x) = -f(x)$. Чтобы построить вторую часть графика (для $x < 0$), мы отражаем уже построенную ветвь параболы симметрично относительно начала координат (или поворачиваем на 180°). Точка $(x, y)$ переходит в $(-x, -y)$.
- Точка $(1, 1)$ отразится в точку $(-1, -1)$.
- Точка $(2, 4)$ отразится в точку $(-2, -4)$.
- Точка $(0, 0)$ останется на месте.
В результате мы получим график, состоящий из правой ветви параболы $y=x^2$ и левой ветви параболы $y=-x^2$.

2. Заполнение таблицы.
Для заполнения таблицы выберем три значения $x$, чтобы заполнить три столбца. Возьмём, например, $x=-2$, $x=1$, $x=2$.
- При $x=1$ (это $x > 0$), $f(1) = 1^2 = 1$.
- При $x=2$ (это $x > 0$), $f(2) = 2^2 = 4$.
- При $x=-2$ (это $x < 0$), используем нечётность: $f(-2) = -f(2) = -4$.
Заполненная таблица:
x | -2 | 1 | 2
y | -4 | 1 | 4

3. Задание функции формулой.
Нам известна формула для $x \ge 0$: $f(x) = x^2$.
Для $x < 0$, используем свойство нечётности $f(x) = -f(-x)$. Так как $x < 0$, то $-x > 0$, и мы можем применить к $-x$ данную формулу:
$f(x) = -f(-x) = -((-x)^2) = -x^2$.
Объединяя оба случая, получаем кусочно-заданную функцию, которую также можно записать как $f(x) = x|x|$.
Ответ: б) $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{при } x \ge 0 \\ -x^2, & \text{при } x < 0 \end{cases}$