Номер 8, страница 34, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

8. Задайте функцию формулой и обоснуйте ответ:

а) чётную функцию;

б) нечётную функцию;

в) функцию, которая не является ни чётной, ни нечётной

а) чётную функцию

Рассмотрим функцию, заданную формулой $f(x) = x^4 + \cos(x)$.
Обоснование:
Функция $f(x)$ называется чётной, если её область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из этой области выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
1. Область определения функции $f(x) = x^4 + \cos(x)$ — все действительные числа, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Это множество симметрично относительно нуля.
2. Проверим выполнение равенства $f(-x) = f(x)$:
$f(-x) = (-x)^4 + \cos(-x)$.
Так как $(-x)^4 = x^4$ (степень чётная) и $\cos(-x) = \cos(x)$ (свойство функции косинус), получаем:
$f(-x) = x^4 + \cos(x)$.
Поскольку $f(-x) = x^4 + \cos(x)$ и $f(x) = x^4 + \cos(x)$, то выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
Следовательно, функция $f(x) = x^4 + \cos(x)$ является чётной.
Ответ: $f(x) = x^4 + \cos(x)$.

б) нечётную функцию

Рассмотрим функцию, заданную формулой $f(x) = x^3 - \sin(x)$.
Обоснование:
Функция $f(x)$ называется нечётной, если её область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из этой области выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.
1. Область определения функции $f(x) = x^3 - \sin(x)$ — все действительные числа, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Это множество симметрично относительно нуля.
2. Проверим выполнение равенства $f(-x) = -f(x)$:
$f(-x) = (-x)^3 - \sin(-x)$.
Так как $(-x)^3 = -x^3$ (степень нечётная) и $\sin(-x) = -\sin(x)$ (свойство функции синус), получаем:
$f(-x) = -x^3 - (-\sin(x)) = -x^3 + \sin(x)$.
Теперь найдём $-f(x)$:
$-f(x) = -(x^3 - \sin(x)) = -x^3 + \sin(x)$.
Поскольку $f(-x) = -x^3 + \sin(x)$ и $-f(x) = -x^3 + \sin(x)$, то выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.
Следовательно, функция $f(x) = x^3 - \sin(x)$ является нечётной.
Ответ: $f(x) = x^3 - \sin(x)$.

в) функцию, которая не является ни чётной, ни нечётной

Рассмотрим функцию, заданную формулой $f(x) = x^2 + x$.
Обоснование:
Функция не является ни чётной, ни нечётной (является функцией общего вида), если она не удовлетворяет ни одному из определений чётной или нечётной функции. То есть, существуют такие значения $x$ из области определения, для которых $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$.
1. Область определения функции $f(x) = x^2 + x$ — все действительные числа, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$, что является симметричным множеством.
2. Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = (-x)^2 + (-x) = x^2 - x$.
3. Проверим на чётность. Сравним $f(-x)$ и $f(x)$:
$f(-x) = x^2 - x$.
$f(x) = x^2 + x$.
Равенство $f(-x) = f(x)$ приводило бы к $x^2 - x = x^2 + x$, что означает $2x=0$, то есть $x=0$. Так как равенство выполняется не для всех $x$ из области определения (например, для $x=1$, $f(-1) = 0$, а $f(1) = 2$), функция не является чётной.
4. Проверим на нечётность. Сравним $f(-x)$ и $-f(x)$:
$f(-x) = x^2 - x$.
$-f(x) = -(x^2 + x) = -x^2 - x$.
Равенство $f(-x) = -f(x)$ приводило бы к $x^2 - x = -x^2 - x$, что означает $2x^2=0$, то есть $x=0$. Так как равенство выполняется не для всех $x$ из области определения (например, для $x=1$, $f(-1) = 0$, а $-f(1) = -2$), функция не является нечётной.
Поскольку функция не является ни чётной, ни нечётной, она является функцией общего вида.
Ответ: $f(x) = x^2 + x$.