Номер 2, страница 32, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

2. Докажите, что функция $y = f(x)$ является чётной:

a) $f(x)=2x^4-1;$

б) $f(x)=\frac{1}{3+x^2}.$

Функция $y = f(x)$ называется чётной, если её область определения $D(f)$ симметрична относительно нуля (то есть для любого $x \in D(f)$ верно, что и $-x \in D(f)$) и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

а) $f(x) = 2x^4 - 1$

Область определения $D(f)$ данной функции — это множество всех действительных чисел, $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля, так как для любого действительного числа $x$ число $-x$ также является действительным.

Теперь проверим выполнение второго условия. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = 2(-x)^4 - 1$

Поскольку показатель степени 4 — чётное число, то $(-x)^4 = x^4$. Следовательно:

$f(-x) = 2x^4 - 1$

Сравнивая полученное выражение с исходной функцией, видим, что $f(-x) = f(x)$.

Так как оба условия (симметричность области определения и равенство $f(-x) = f(x)$) выполняются, функция является чётной.

Ответ: Доказано.

б) $f(x) = \frac{1}{3 + x^2}$

Область определения $D(f)$ этой функции находится из условия, что знаменатель дроби не равен нулю: $3 + x^2 \neq 0$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $3 + x^2 \ge 3$. Значит, знаменатель никогда не обращается в ноль. Таким образом, область определения — множество всех действительных чисел, $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

Теперь проверим выполнение второго условия. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{1}{3 + (-x)^2}$

Так как $(-x)^2 = x^2$, получаем:

$f(-x) = \frac{1}{3 + x^2}$

Сравнивая полученное выражение с исходной функцией, видим, что $f(-x) = f(x)$.

Так как оба условия чётности выполняются, функция является чётной.

Ответ: Доказано.