Номер 9, страница 35, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

9. Докажите, что:

а) сумма двух чётных функций является чётной функцией;

б) произведение двух чётных функций является чётной функцией.

Приведите пример.

Решение.

а) Пусть $y=f(x)$ и $y=g(x)$ — чётные функции. Тогда:

1) $D(f)$ и $D(g)$ — множества, симметричные относительно $x = 0$,

и $D(f+g) = D(f) \cap D(g)$ — множество, симметричное относительно $x = 0$;

2) так как функции чётные, то $f(-x)=f(x)$, $g(-x)=g(x)$,

$(f+g)(-x) = f(-x) + g(-x) = f(x) + g(x) = (f+g)(x).$

Получили $(f+g)(-x) = (f+g)(x)$. Значит, $y=(f+g)(x)$ — чётная функция.

Например, $f(x) = x^2$ и $g(x)=5x^2+3$ — чётные функции.

Составим сумму $(f+g)(x)=f(x)+g(x)=x^2+5x^2+3=6x^2+3.$

1) $D(f+g) = \mathbb{R}$ — симметрична относительно $x=0$;

2) $(f+g)(-x)=6(-x)^2+3=6x^2+3.$

Значит, функция $(f+g)(x)$ чётная.

б)

а) Доказательство того, что сумма двух чётных функций является чётной функцией.

Функция $y=h(x)$ называется чётной, если выполняются два условия:
1. Её область определения $D(h)$ симметрична относительно точки $x=0$ (то есть, если $x \in D(h)$, то и $-x \in D(h)$).
2. Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $h(-x) = h(x)$.

Пусть $y=f(x)$ и $y=g(x)$ — две чётные функции. Рассмотрим их сумму $h(x) = f(x) + g(x)$.

1) Область определения суммы функций есть пересечение их областей определения: $D(h) = D(f) \cap D(g)$. Поскольку $D(f)$ и $D(g)$ по условию симметричны относительно $x=0$, их пересечение также будет симметричным множеством. Первое условие выполнено.

2) Проверим второе условие. Найдём значение функции $h(x)$ в точке $-x$:
$h(-x) = f(-x) + g(-x)$.
Так как функции $f(x)$ и $g(x)$ чётные, то $f(-x) = f(x)$ и $g(-x) = g(x)$. Подставим это в предыдущее выражение:
$h(-x) = f(x) + g(x)$.
Правая часть равна исходной функции $h(x)$. Таким образом, мы получили $h(-x) = h(x)$. Второе условие также выполнено.

Следовательно, функция $h(x) = f(x) + g(x)$ является чётной.

Пример.
Пусть $f(x) = x^4 - 2x^2$ и $g(x) = |x|$. Обе функции чётные:
$f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 = x^4 - 2x^2 = f(x)$.
$g(-x) = |-x| = |x| = g(x)$.
Их сумма $h(x) = (x^4 - 2x^2) + |x| = x^4 - 2x^2 + |x|$.
Проверим четность суммы:
$h(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + |-x| = x^4 - 2x^2 + |x| = h(x)$.
Функция $h(x)$ является чётной.

Ответ: Сумма двух чётных функций является чётной функцией, что и требовалось доказать.

б) Доказательство того, что произведение двух чётных функций является чётной функцией.

Пусть, как и в предыдущем пункте, $y=f(x)$ и $y=g(x)$ — две чётные функции. Рассмотрим их произведение $p(x) = f(x) \cdot g(x)$.

1) Область определения произведения функций $D(p) = D(f) \cap D(g)$ является симметричным множеством относительно $x=0$, так как $D(f)$ и $D(g)$ симметричны. Первое условие выполнено.

2) Проверим второе условие. Найдём значение функции $p(x)$ в точке $-x$:
$p(-x) = f(-x) \cdot g(-x)$.
Поскольку $f(x)$ и $g(x)$ — чётные, то $f(-x) = f(x)$ и $g(-x) = g(x)$. Подставим:
$p(-x) = f(x) \cdot g(x)$.
Правая часть равна исходной функции $p(x)$. Таким образом, мы получили $p(-x) = p(x)$. Второе условие также выполнено.

Следовательно, функция $p(x) = f(x) \cdot g(x)$ является чётной.

Пример.
Возьмём те же чётные функции $f(x) = x^2$ и $g(x) = \cos(x)$.
$f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$.
$g(-x) = \cos(-x) = \cos(x) = g(x)$.
Их произведение $p(x) = x^2 \cos(x)$.
Проверим четность произведения:
$p(-x) = (-x)^2 \cos(-x) = x^2 \cos(x) = p(x)$.
Функция $p(x)$ является чётной.

Ответ: Произведение двух чётных функций является чётной функцией, что и требовалось доказать.