Номер 2, страница 38, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

2. Найдите промежутки знакопостоянства функции:

a) $f(x) = \frac{5x+2}{3}$;

б) $f(x) = -\frac{3}{x}$.

а) $f(x) = \frac{5x + 2}{3}$

Чтобы найти промежутки знакопостоянства, нужно определить интервалы, на которых функция положительна ($f(x) > 0$) и на которых она отрицательна ($f(x) < 0$). Для этого сначала находим нули функции (точки, в которых график функции пересекает ось Ox).

Решим уравнение $f(x) = 0$:

$\frac{5x + 2}{3} = 0$

Умножим обе части на 3:

$5x + 2 = 0$

$5x = -2$

$x = -\frac{2}{5}$ или $x = -0.4$

Найденный нуль функции $x = -0.4$ разбивает числовую ось на два интервала: $(-\infty; -0.4)$ и $(-0.4; +\infty)$. Определим знак функции на каждом из этих интервалов, выбрав по одной пробной точке.

Для интервала $(-0.4; +\infty)$ выберем пробную точку $x = 0$:

$f(0) = \frac{5 \cdot 0 + 2}{3} = \frac{2}{3}$.

Так как $f(0) > 0$, то на всем интервале $(-0.4; +\infty)$ функция положительна.

Для интервала $(-\infty; -0.4)$ выберем пробную точку $x = -1$:

$f(-1) = \frac{5 \cdot (-1) + 2}{3} = \frac{-5 + 2}{3} = \frac{-3}{3} = -1$.

Так как $f(-1) < 0$, то на всем интервале $(-\infty; -0.4)$ функция отрицательна.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-0.4; +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; -0.4)$.

б) $f(x) = -\frac{3}{x}$

Для нахождения промежутков знакопостоянства этой функции определим её область определения, нули и точки разрыва.

1. Область определения. Функция не определена, когда знаменатель равен нулю, то есть при $x = 0$. Таким образом, область определения функции: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Точка $x=0$ является точкой разрыва.

2. Нули функции. Решим уравнение $f(x) = 0$:

$-\frac{3}{x} = 0$

Это уравнение не имеет решений, так как числитель дроби, равный -3, не равен нулю. Следовательно, у функции нет нулей, и её график не пересекает ось Ox.

Знак функции может измениться только в точке разрыва $x = 0$. Эта точка делит числовую ось на два интервала: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Определим знак функции на каждом из них.

Для интервала $(0; +\infty)$ выберем пробную точку $x = 1$:

$f(1) = -\frac{3}{1} = -3$.

Так как $f(1) < 0$, функция отрицательна на всем интервале $(0; +\infty)$.

Для интервала $(-\infty; 0)$ выберем пробную точку $x = -1$:

$f(-1) = -\frac{3}{-1} = 3$.

Так как $f(-1) > 0$, функция положительна на всем интервале $(-\infty; 0)$.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; 0)$; $f(x) < 0$ при $x \in (0; +\infty)$.