Номер 10, страница 36, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

10. Докажите, что:

а) сумма двух нечётных функций является нечётной функцией;

б) произведение двух нечётных функций является чётной функцией;

в) произведение чётной и нечётной функций является нечётной функцией.

Решение. а) Пусть $y = f(x)$ и $y = g(x)$ — нечётные функции. Тогда:

1) $D(f)$ и $D(g)$ — множества, симметричные относительно $x = 0$, и $D(f + g) = D(f) \cap D(g)$ — множество, симметричное относительно $x = 0$.

2) Так как функции нечётные, то $f(-x) = -f(x)$, $g(-x) = -g(x)$, найдём $(f + g)(-x)$.

а) сумма двух нечётных функций является нечётной функцией

Пусть даны две нечётные функции $f(x)$ и $g(x)$. По определению нечётной функции, их области определения $D(f)$ и $D(g)$ симметричны относительно нуля, и для любого $x$ из соответствующей области определения выполняются равенства:

$f(-x) = -f(x)$

$g(-x) = -g(x)$

Рассмотрим их сумму $h(x) = f(x) + g(x)$. Область определения функции $h(x)$ есть $D(h) = D(f) \cap D(g)$. Так как области $D(f)$ и $D(g)$ симметричны относительно нуля, их пересечение $D(h)$ также будет симметричным.

Проверим выполнение условия нечётности для функции $h(x)$. Для этого найдём значение $h(-x)$:

$h(-x) = f(-x) + g(-x)$

Используя свойство нечётности для функций $f(x)$ и $g(x)$, получаем:

$h(-x) = (-f(x)) + (-g(x)) = -(f(x) + g(x)) = -h(x)$

Поскольку для любого $x$ из $D(h)$ выполняется равенство $h(-x) = -h(x)$, то по определению функция $h(x)$ является нечётной.

Ответ: Сумма двух нечётных функций является нечётной функцией.

б) произведение двух нечётных функций является чётной функцией

Пусть даны две нечётные функции $f(x)$ и $g(x)$. Это означает, что $f(-x) = -f(x)$ и $g(-x) = -g(x)$, а их области определения $D(f)$ и $D(g)$ симметричны относительно нуля.

Рассмотрим их произведение $p(x) = f(x) \cdot g(x)$. Область определения $D(p) = D(f) \cap D(g)$ также симметрична относительно нуля.

Проверим выполнение условия чётности для функции $p(x)$. Найдём значение $p(-x)$:

$p(-x) = f(-x) \cdot g(-x)$

Подставляя свойства нечётных функций, получаем:

$p(-x) = (-f(x)) \cdot (-g(x)) = f(x) \cdot g(x) = p(x)$

Поскольку для любого $x$ из $D(p)$ выполняется равенство $p(-x) = p(x)$, то по определению функция $p(x)$ является чётной.

Ответ: Произведение двух нечётных функций является чётной функцией.

в) произведение чётной и нечётной функций является нечётной функцией

Пусть дана чётная функция $f(x)$ и нечётная функция $g(x)$. По определениям, их области определения $D(f)$ и $D(g)$ симметричны относительно нуля, и для любого $x$ из соответствующей области определения выполняются равенства:

$f(-x) = f(x)$ (для чётной функции)

$g(-x) = -g(x)$ (для нечётной функции)

Рассмотрим их произведение $q(x) = f(x) \cdot g(x)$. Область определения $D(q) = D(f) \cap D(g)$ также симметрична относительно нуля.

Проверим выполнение условия нечётности для функции $q(x)$. Найдём значение $q(-x)$:

$q(-x) = f(-x) \cdot g(-x)$

Подставляя свойства чётной и нечётной функций, получаем:

$q(-x) = f(x) \cdot (-g(x)) = -(f(x) \cdot g(x)) = -q(x)$

Поскольку для любого $x$ из $D(q)$ выполняется равенство $q(-x) = -q(x)$, то по определению функция $q(x)$ является нечётной.

Ответ: Произведение чётной и нечётной функций является нечётной функцией.