Номер 4, страница 33, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

4. Определите, является ли функция чётной или нечётной:

а) $f(x) = 5x + 6$

б) $f(x) = -\frac{10}{x}$

в) $f(x) = 3 - 2x^2$

г) $f(x) = \frac{1}{2}x^3 + x + 1$

Ответ:

a) б) в) г)

а) $f(x) = 5x + 6$

Для определения чётности функции необходимо проверить выполнение равенств $f(-x) = f(x)$ (для чётной функции) или $f(-x) = -f(x)$ (для нечётной функции). Область определения данной функции — все действительные числа ($D(f) = (-\infty; +\infty)$), она симметрична относительно нуля.

Найдём значение функции для $-x$:

$f(-x) = 5(-x) + 6 = -5x + 6$

Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:

$f(-x) = -5x + 6 \neq 5x + 6 = f(x)$

Равенство не выполняется, следовательно, функция не является чётной.

Теперь сравним $f(-x)$ с $-f(x)$:

$-f(x) = -(5x + 6) = -5x - 6$

$f(-x) = -5x + 6 \neq -5x - 6 = -f(x)$

Это равенство также не выполняется. Таким образом, функция не является ни чётной, ни нечётной (является функцией общего вида).

Ответ: ни чётная, ни нечётная.

б) $f(x) = \frac{10}{x}$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.

Найдём значение функции для $-x$:

$f(-x) = \frac{10}{-x} = -\frac{10}{x}$

Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:

$f(-x) = -\frac{10}{x} \neq \frac{10}{x} = f(x)$

Функция не является чётной.

Сравним $f(-x)$ с $-f(x)$:

$-f(x) = -(\frac{10}{x}) = -\frac{10}{x}$

$f(-x) = -\frac{10}{x} = -f(x)$

Равенство выполняется для всех $x$ из области определения. Следовательно, функция является нечётной.

Ответ: нечётная.

в) $f(x) = 3 - 2x^2$

Область определения функции — все действительные числа ($D(f) = (-\infty; +\infty)$), она симметрична относительно нуля.

Найдём значение функции для $-x$:

$f(-x) = 3 - 2(-x)^2 = 3 - 2x^2$

Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:

$f(-x) = 3 - 2x^2 = f(x)$

Равенство выполняется для всех $x$. Следовательно, функция является чётной.

Ответ: чётная.

г) $f(x) = \frac{1}{2}x^3 + x + 1$

Область определения функции — все действительные числа ($D(f) = (-\infty; +\infty)$), она симметрична относительно нуля.

Найдём значение функции для $-x$:

$f(-x) = \frac{1}{2}(-x)^3 + (-x) + 1 = -\frac{1}{2}x^3 - x + 1$

Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:

$f(-x) = -\frac{1}{2}x^3 - x + 1 \neq \frac{1}{2}x^3 + x + 1 = f(x)$

Функция не является чётной.

Сравним $f(-x)$ с $-f(x)$:

$-f(x) = -(\frac{1}{2}x^3 + x + 1) = -\frac{1}{2}x^3 - x - 1$

$f(-x) = -\frac{1}{2}x^3 - x + 1 \neq -f(x)$

Это равенство также не выполняется. Таким образом, функция не является ни чётной, ни нечётной (является функцией общего вида).

Ответ: ни чётная, ни нечётная.