Номер 5, страница 33, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

5. Может ли быть чётной или нечётной функция, областью определения которой является:

а) промежуток $[-2; 7];$

б) промежуток $(-10; 10);$

в) объединение промежутков $[-9; -1] \cup [1; 9]?$

Ответ: а) ......................... б) ......................... в) .........................

Функция $f(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения $D$ выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Функция $f(x)$ называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения $D$ выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Из определений следует, что необходимым условием для того, чтобы функция могла быть чётной или нечётной, является симметричность её области определения $D$ относительно начала координат. Это означает, что для любого числа $x$, принадлежащего области определения, число $-x$ также должно принадлежать этой области.

Область определения $D = [-2; 7]$ не является симметричной относительно начала координат. Например, точка $x=7$ принадлежит этому промежутку ($7 \in [-2; 7]$), но точка $-x=-7$ не принадлежит ему ($-7 \notin [-2; 7]$). Так как необходимое условие симметричности области определения не выполняется, функция с такой областью определения не может быть ни чётной, ни нечётной.

Ответ: не может быть ни чётной, ни нечётной.

Область определения $D = (-10; 10)$ является симметричной относительно начала координат. Для любого $x \in (-10; 10)$ выполняется $-10 < x < 10$. Умножив неравенство на $-1$, получим $10 > -x > -10$, что равносильно $-10 < -x < 10$. Следовательно, $-x$ также принадлежит промежутку $D$.

Поскольку область определения симметрична, функция с такой областью определения может быть как чётной (например, $f(x) = x^2$), так и нечётной (например, $f(x) = x^3$).

Ответ: может быть и чётной, и нечётной.

Область определения $D = [-9; -1] \cup [1; 9]$ является симметричной относительно начала координат. Проверим это:
Если $x \in [1; 9]$, то $1 \le x \le 9$. Тогда $-9 \le -x \le -1$, что означает $-x \in [-9; -1]$, а значит $-x \in D$.
Если $x \in [-9; -1]$, то $-9 \le x \le -1$. Тогда $1 \le -x \le 9$, что означает $-x \in [1; 9]$, а значит $-x \in D$.
Таким образом, для любого $x \in D$ соответствующее значение $-x$ также принадлежит $D$.

Так как область определения симметрична, функция может быть как чётной (например, $f(x) = |x|$), так и нечётной (например, $f(x) = x$).

Ответ: может быть и чётной, и нечётной.