Номер 12, страница 43, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

12. Докажите, что функция $g(x)$ убывает при заданных значениях аргумента:

а) $g(x) = \frac{2}{x}$ при $x < 0$;

б) $g(x) = \frac{1}{9x+3}$ при $x > -\frac{1}{3}$.

Чтобы доказать, что функция убывает на заданном промежутке, нужно показать, что для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $g(x_1) > g(x_2)$.

а) $g(x) = \frac{2}{x}$ при $x < 0$

Возьмем два произвольных значения $x_1$ и $x_2$ из промежутка $(-\infty; 0)$ так, чтобы $x_1 < x_2$. Поскольку оба значения принадлежат указанному промежутку, мы имеем $x_1 < x_2 < 0$.

Рассмотрим разность значений функции в этих точках:

$g(x_1) - g(x_2) = \frac{2}{x_1} - \frac{2}{x_2}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$g(x_1) - g(x_2) = \frac{2x_2 - 2x_1}{x_1 x_2} = \frac{2(x_2 - x_1)}{x_1 x_2}$

Теперь оценим знак полученного выражения:

1. Числитель: так как по условию $x_1 < x_2$, то разность $x_2 - x_1$ будет положительной. Следовательно, $2(x_2 - x_1) > 0$.

2. Знаменатель: так как $x_1 < 0$ и $x_2 < 0$, их произведение $x_1 x_2$ будет положительным. Следовательно, $x_1 x_2 > 0$.

Поскольку и числитель, и знаменатель дроби положительны, вся дробь также положительна:

$\frac{2(x_2 - x_1)}{x_1 x_2} > 0$

Это означает, что $g(x_1) - g(x_2) > 0$, или $g(x_1) > g(x_2)$.

Так как для любых $x_1 < x_2$ из промежутка $(-\infty; 0)$ выполняется $g(x_1) > g(x_2)$, функция $g(x)$ является убывающей на этом промежутке.

Ответ: Доказано.

б) $g(x) = \frac{1}{9x + 3}$ при $x > -\frac{1}{3}$

Возьмем два произвольных значения $x_1$ и $x_2$ из промежутка $(-\frac{1}{3}; +\infty)$ так, чтобы $x_1 < x_2$.

Рассмотрим разность значений функции в этих точках:

$g(x_1) - g(x_2) = \frac{1}{9x_1 + 3} - \frac{1}{9x_2 + 3}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$g(x_1) - g(x_2) = \frac{(9x_2 + 3) - (9x_1 + 3)}{(9x_1 + 3)(9x_2 + 3)} = \frac{9x_2 + 3 - 9x_1 - 3}{(9x_1 + 3)(9x_2 + 3)} = \frac{9x_2 - 9x_1}{(9x_1 + 3)(9x_2 + 3)} = \frac{9(x_2 - x_1)}{(9x_1 + 3)(9x_2 + 3)}$

Теперь оценим знак полученного выражения:

1. Числитель: так как по условию $x_1 < x_2$, то разность $x_2 - x_1$ будет положительной. Следовательно, $9(x_2 - x_1) > 0$.

2. Знаменатель: нам дано условие $x > -\frac{1}{3}$. Преобразуем его: $9x > -3$, откуда $9x + 3 > 0$. Поскольку и $x_1$, и $x_2$ принадлежат заданному промежутку, для них обоих выполняются неравенства $9x_1 + 3 > 0$ и $9x_2 + 3 > 0$. Произведение двух положительных чисел также положительно: $(9x_1 + 3)(9x_2 + 3) > 0$.

Поскольку и числитель, и знаменатель дроби положительны, вся дробь также положительна:

$\frac{9(x_2 - x_1)}{(9x_1 + 3)(9x_2 + 3)} > 0$

Это означает, что $g(x_1) - g(x_2) > 0$, или $g(x_1) > g(x_2)$.

Так как для любых $x_1 < x_2$ из промежутка $(-\frac{1}{3}; +\infty)$ выполняется $g(x_1) > g(x_2)$, функция $g(x)$ является убывающей на этом промежутке.

Ответ: Доказано.