Номер 15, страница 45, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

15. Постройте график функции и опишите её свойства:

a) $f(x) = \frac{3x^2 - 3}{x + 1}$;

б) $f(x) = \frac{8 - 4x}{x^2 - 2x}$.

График a):

График б):

1 $D(f)=$ $D(f)=$

2 $E(f)=$ $E(f)=$

3

4

5

6

7

a)

Для функции $f(x) = \frac{3x^2 - 3}{x + 1}$ сначала найдем область определения. Знаменатель не должен равняться нулю, поэтому $x + 1 \neq 0$, что означает $x \neq -1$. Область определения $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Теперь упростим выражение функции. Разложим числитель на множители: $3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1)$.

Тогда функция принимает вид: $f(x) = \frac{3(x - 1)(x + 1)}{x + 1}$.

Так как $x \neq -1$, мы можем сократить дробь на $(x + 1)$, получая $f(x) = 3(x - 1) = 3x - 3$.

Таким образом, график функции — это прямая $y = 3x - 3$ с выколотой точкой при $x = -1$. Найдем ординату этой точки: $y(-1) = 3(-1) - 3 = -6$. Координаты выколотой точки: $(-1; -6)$.

Для построения графика прямой найдем две точки:

• При $x=0$, $y = 3(0) - 3 = -3$. Точка $(0, -3)$.
• При $x=1$, $y = 3(1) - 3 = 0$. Точка $(1, 0)$.

График представляет собой прямую, проходящую через точки $(0, -3)$ и $(1, 0)$, с выколотой точкой $(-1, -6)$.

Свойства функции:

1. D(f) = $(-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.
2. E(f) = $(-\infty; -6) \cup (-6; +\infty)$.
3. Нули функции: $f(x) = 0 \Rightarrow 3x - 3 = 0 \Rightarrow x = 1$.
4. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x \in (1; +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 1)$.
5. Промежутки монотонности: функция возрастает на всей области определения, т.е. на промежутках $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$.
6. Экстремумы: точек максимума и минимума нет.
7. Четность/нечетность: функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной), так как ее область определения несимметрична относительно нуля.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = 3x - 3$ с выколотой точкой $(-1; -6)$. Свойства функции подробно описаны выше.

б)

Для функции $f(x) = \frac{8 - 4x}{x^2 - 2x}$ найдем область определения. Знаменатель не равен нулю: $x^2 - 2x \neq 0 \Rightarrow x(x-2) \neq 0$, откуда $x \neq 0$ и $x \neq 2$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$.

Упростим выражение. Разложим числитель и знаменатель на множители: $8 - 4x = -4(x - 2)$ и $x^2 - 2x = x(x - 2)$.

Функция принимает вид: $f(x) = \frac{-4(x - 2)}{x(x - 2)}$.

Так как $x \neq 2$, мы можем сократить дробь на $(x - 2)$, получая $f(x) = -\frac{4}{x}$.

График функции — это гипербола $y = -\frac{4}{x}$ с выколотой точкой при $x=2$. Найдем ординату этой точки: $y(2) = -\frac{4}{2} = -2$. Координаты выколотой точки: $(2; -2)$.

График функции $y = -\frac{4}{x}$ — это гипербола с асимптотами $x=0$ (ось Oy) и $y=0$ (ось Ox). Ветви расположены во II и IV координатных четвертях.

Свойства функции:

1. D(f) = $(-\infty; 0) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$.
2. E(f) = Множество значений функции $y=-4/x$ - это $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Исключая значение в выколотой точке $y=-2$, получаем $E(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; +\infty)$.
3. Нули функции: $f(x) = 0 \Rightarrow -4/x = 0$. Решений нет. Нулей у функции нет.
4. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x < 0$, т.е. на промежутке $(-\infty; 0)$; $f(x) < 0$ при $x > 0$, т.е. на промежутках $(0; 2) \cup (2; +\infty)$.
5. Промежутки монотонности: функция возрастает на каждом из интервалов области определения: $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$.
6. Экстремумы: точек максимума и минимума нет.
7. Четность/нечетность: функция общего вида, так как ее область определения несимметрична относительно нуля.

Ответ: Графиком функции является гипербола $y = -4/x$ с выколотой точкой $(2; -2)$. Свойства функции подробно описаны выше.