Номер 13, страница 43, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

13. При каких значениях $b$ прямая $y = -4x + \frac{b}{2}$ образует с осями координат треугольник, площадь которого равна 2?

Для того чтобы найти значения параметра $b$, при которых прямая $y = -4x + \frac{b}{2}$ образует с осями координат треугольник с площадью 2, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти точки пересечения прямой с осями координат (Ox и Oy).

Пересечение с осью Oy (осью ординат) происходит при $x=0$. Подставим это значение в уравнение прямой: $y = -4 \cdot 0 + \frac{b}{2} = \frac{b}{2}$ Таким образом, точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0; \frac{b}{2})$.

Пересечение с осью Ox (осью абсцисс) происходит при $y=0$. Подставим это значение в уравнение прямой: $0 = -4x + \frac{b}{2}$ $4x = \frac{b}{2}$ $x = \frac{b}{8}$ Таким образом, точка пересечения с осью Ox имеет координаты $(\frac{b}{8}; 0)$.

Для того чтобы прямая образовывала треугольник с осями координат, она не должна проходить через начало координат, то есть точки пересечения не должны совпадать с точкой $(0;0)$. Это условие выполняется, если $b \neq 0$.

2. Вычислить площадь треугольника.

Треугольник, образованный прямой и осями координат, является прямоугольным. Его вершины находятся в точках $(0;0)$, $(\frac{b}{8}; 0)$ и $(0; \frac{b}{2})$. Катеты этого треугольника лежат на осях координат, и их длины равны модулям координат точек пересечения:

Длина первого катета (на оси Ox) равна $|\frac{b}{8}|$.

Длина второго катета (на оси Oy) равна $|\frac{b}{2}|$.

Площадь прямоугольного треугольника $S$ вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ и $h$ — длины катетов.

Подставим длины наших катетов в формулу: $S = \frac{1}{2} \cdot |\frac{b}{8}| \cdot |\frac{b}{2}| = \frac{1}{2} \cdot |\frac{b^2}{16}|$

Поскольку $b^2$ всегда неотрицательно, $|b^2| = b^2$. Следовательно: $S = \frac{1}{2} \cdot \frac{b^2}{16} = \frac{b^2}{32}$

3. Найти значения $b$, используя заданное значение площади.

По условию задачи, площадь треугольника равна 2. $S = 2$

Приравняем выражение для площади к этому значению: $\frac{b^2}{32} = 2$

Теперь решим это уравнение относительно $b$: $b^2 = 2 \cdot 32$ $b^2 = 64$ $b = \pm\sqrt{64}$ $b_1 = 8$, $b_2 = -8$

Оба значения удовлетворяют условию $b \neq 0$, следовательно, оба являются решениями задачи.

Ответ: $b = -8$ или $b = 8$.