Номер 11, страница 42, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

11. Докажите, что функция $f(x)$ возрастает при заданных значениях аргумента:

$f(x)=\frac{2}{9-x}$ при $x<9$.

Пусть $x_1 < x_2 < 9$; вычислим разность:

$f(x_2)-f(x_1) = \frac{2}{9-x_2} - \frac{2}{9-x_1} = \frac{18-2x_1-18+2x_2}{(9-x_1)(9-x_2)} = \frac{2(x_2-x_1)}{(9-x_1)(9-x_2)} > 0,$

так как $x_2 - x_1 > 0, 9 - x_1 > 0, 9 - x_2 > 0$. Значит, $f(x_2) > f(x_1)$.

Поэтому функция возрастает на данном интервале.

a) $f(x) = \frac{3}{5-2x}$ при $x>2,5$;

б) $f(x) = 3x - 2 - \frac{1}{x+4}$ при $x>-4$.

а) Чтобы доказать, что функция $f(x) = \frac{3}{5 - 2x}$ возрастает при $x > 2.5$, необходимо показать, что для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$. Это эквивалентно доказательству того, что разность $f(x_2) - f(x_1)$ положительна.

Пусть $x_1$ и $x_2$ – два произвольных числа, для которых выполняется условие $2.5 < x_1 < x_2$. Составим и упростим разность $f(x_2) - f(x_1)$:

$f(x_2) - f(x_1) = \frac{3}{5 - 2x_2} - \frac{3}{5 - 2x_1}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(5 - 2x_2)(5 - 2x_1)$:

$f(x_2) - f(x_1) = \frac{3(5 - 2x_1) - 3(5 - 2x_2)}{(5 - 2x_2)(5 - 2x_1)} = \frac{15 - 6x_1 - 15 + 6x_2}{(5 - 2x_2)(5 - 2x_1)} = \frac{6x_2 - 6x_1}{(5 - 2x_2)(5 - 2x_1)} = \frac{6(x_2 - x_1)}{(5 - 2x_2)(5 - 2x_1)}$

Теперь определим знак полученного выражения.
Числитель $6(x_2 - x_1)$ положителен, так как по условию $x_1 < x_2$, а значит $x_2 - x_1 > 0$.
Рассмотрим знаменатель $(5 - 2x_2)(5 - 2x_1)$. Из условия $x > 2.5$ следует, что $2x > 5$, и, соответственно, $5 - 2x < 0$. Так как $x_1 > 2.5$ и $x_2 > 2.5$, то оба множителя в знаменателе отрицательны: $(5 - 2x_1) < 0$ и $(5 - 2x_2) < 0$. Произведение двух отрицательных чисел — число положительное, поэтому знаменатель $(5 - 2x_2)(5 - 2x_1) > 0$.

Дробь, у которой и числитель, и знаменатель положительны, является положительной. Следовательно, $f(x_2) - f(x_1) > 0$, откуда $f(x_2) > f(x_1)$. Это доказывает, что функция возрастает при $x > 2.5$.

Ответ: Доказано, что функция $f(x) = \frac{3}{5 - 2x}$ возрастает при $x > 2.5$.

б) Чтобы доказать, что функция $f(x) = 3x - 2 - \frac{1}{x+4}$ возрастает при $x > -4$, покажем, что для любых $x_1, x_2$ из этого промежутка, удовлетворяющих условию $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_2) - f(x_1) > 0$.

Пусть $-4 < x_1 < x_2$. Рассмотрим разность $f(x_2) - f(x_1)$:

$f(x_2) - f(x_1) = \left(3x_2 - 2 - \frac{1}{x_2+4}\right) - \left(3x_1 - 2 - \frac{1}{x_1+4}\right)$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$f(x_2) - f(x_1) = 3x_2 - 2 - \frac{1}{x_2+4} - 3x_1 + 2 + \frac{1}{x_1+4} = (3x_2 - 3x_1) + \left(\frac{1}{x_1+4} - \frac{1}{x_2+4}\right)$

Упростим выражение в каждой из скобок:

$3(x_2 - x_1) + \frac{(x_2+4) - (x_1+4)}{(x_1+4)(x_2+4)} = 3(x_2 - x_1) + \frac{x_2 - x_1}{(x_1+4)(x_2+4)}$

Вынесем общий множитель $(x_2 - x_1)$:

$(x_2 - x_1) \left(3 + \frac{1}{(x_1+4)(x_2+4)}\right)$

Теперь определим знак полученного выражения.
Первый множитель $(x_2 - x_1)$ положителен, так как по условию $x_1 < x_2$.
Рассмотрим второй множитель $\left(3 + \frac{1}{(x_1+4)(x_2+4)}\right)$. Из условия $x > -4$ следует, что $x+4 > 0$. Поскольку $-4 < x_1$ и $-4 < x_2$, то $x_1+4 > 0$ и $x_2+4 > 0$. Их произведение $(x_1+4)(x_2+4)$ также положительно. Значит, дробь $\frac{1}{(x_1+4)(x_2+4)}$ положительна. Сумма положительного числа 3 и положительной дроби есть число положительное, поэтому второй множитель также положителен.

Произведение двух положительных множителей положительно, поэтому $f(x_2) - f(x_1) > 0$, откуда $f(x_2) > f(x_1)$. Это доказывает, что функция возрастает при $x > -4$.

Ответ: Доказано, что функция $f(x) = 3x - 2 - \frac{1}{x+4}$ возрастает при $x > -4$.