Страница 37, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

11. Постройте график функции $f$, зная, что при $x \geq 0$ её значения могут быть найдены по формуле:

a) $f(x)=x-2$ и $f$ — чётная функция;

б) $f(x)=x^2$ и $f$ — нечётная функция.

Задайте данную функцию формулой.

a) $x$

$y$

б) $x$

$y$

Ответ:

a) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} ... \\ ... \end{array} \right.$, б) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} ... \\ ... \end{array} \right.$.

a) Нам дано, что при $x \ge 0$ функция имеет вид $f(x) = x - 2$, и что функция $f$ является чётной.

1. Анализ и построение графика.
Сначала построим график для $x \ge 0$. Функция $f(x) = x - 2$ — это прямая. Найдём две точки: при $x=0, y=-2$ и при $x=2, y=0$. Таким образом, для $x \ge 0$ график является лучом с началом в точке $(0, -2)$, проходящим через точку $(2, 0)$.
По определению, чётная функция симметрична относительно оси OY, так как $f(-x) = f(x)$. Чтобы построить вторую часть графика (для $x < 0$), мы отражаем уже построенный луч относительно оси OY. Точка $(2, 0)$ отразится в точку $(-2, 0)$. Точка $(0, -2)$ останется на месте. В результате мы получим график, похожий на букву "V", с вершиной в точке $(0, -2)$.

2. Заполнение таблицы.
Выберем два симметричных значения $x$, например, $x=2$ и $x=-2$, чтобы заполнить два столбца в таблице.
- При $x=2$ (это $x > 0$), $f(2) = 2 - 2 = 0$.
- При $x=-2$, из-за чётности функции, $f(-2) = f(2) = 0$.
Заполненная таблица:
x | -2 | 2
y | 0 | 0

3. Задание функции формулой.
Нам известна формула для $x \ge 0$: $f(x) = x - 2$.
Для $x < 0$, используем свойство чётности $f(x) = f(-x)$. Так как $x < 0$, то $-x > 0$, и мы можем применить к $-x$ данную формулу:
$f(x) = f(-x) = (-x) - 2 = -x - 2$.
Объединяя оба случая, получаем кусочно-заданную функцию, которую также можно записать как $f(x) = |x| - 2$.
Ответ: a) $f(x) = \begin{cases} x - 2, & \text{при } x \ge 0 \\ -x - 2, & \text{при } x < 0 \end{cases}$

б) Нам дано, что при $x \ge 0$ функция имеет вид $f(x) = x^2$, и что функция $f$ является нечётной.

1. Анализ и построение графика.
Сначала построим график для $x \ge 0$. Функция $f(x) = x^2$ — это парабола. Для $x \ge 0$ мы строим её правую ветвь, выходящую из начала координат. Найдём несколько точек: $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 4)$.
По определению, нечётная функция симметрична относительно начала координат, так как $f(-x) = -f(x)$. Чтобы построить вторую часть графика (для $x < 0$), мы отражаем уже построенную ветвь параболы симметрично относительно начала координат (или поворачиваем на 180°). Точка $(x, y)$ переходит в $(-x, -y)$.
- Точка $(1, 1)$ отразится в точку $(-1, -1)$.
- Точка $(2, 4)$ отразится в точку $(-2, -4)$.
- Точка $(0, 0)$ останется на месте.
В результате мы получим график, состоящий из правой ветви параболы $y=x^2$ и левой ветви параболы $y=-x^2$.

2. Заполнение таблицы.
Для заполнения таблицы выберем три значения $x$, чтобы заполнить три столбца. Возьмём, например, $x=-2$, $x=1$, $x=2$.
- При $x=1$ (это $x > 0$), $f(1) = 1^2 = 1$.
- При $x=2$ (это $x > 0$), $f(2) = 2^2 = 4$.
- При $x=-2$ (это $x < 0$), используем нечётность: $f(-2) = -f(2) = -4$.
Заполненная таблица:
x | -2 | 1 | 2
y | -4 | 1 | 4

3. Задание функции формулой.
Нам известна формула для $x \ge 0$: $f(x) = x^2$.
Для $x < 0$, используем свойство нечётности $f(x) = -f(-x)$. Так как $x < 0$, то $-x > 0$, и мы можем применить к $-x$ данную формулу:
$f(x) = -f(-x) = -((-x)^2) = -x^2$.
Объединяя оба случая, получаем кусочно-заданную функцию, которую также можно записать как $f(x) = x|x|$.
Ответ: б) $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{при } x \ge 0 \\ -x^2, & \text{при } x < 0 \end{cases}$

11. Изобразите точками на координатной плоскости первые шесть членов арифметической прогрессии $ -2, 0, \ldots $ и напишите уравнение прямой, на которой расположены эти точки.

...

прогрессиях и номер соответст

прогрессий:

...

Решение:

Выразим $a$ через первый член.

...

Аналогично $d$.

...

По условию $a_n = -8$, т.е.

...

Выразим отсюда $n$ через $a_n$.

...

Данная последовательность является арифметической прогрессией. Найдем ее параметры и первые шесть членов. Первый член прогрессии известен: $a_1 = -2$. Второй член прогрессии также известен: $a_2 = 0$.

Разность арифметической прогрессии $d$ равна разности между последующим и предыдущим членами: $d = a_2 - a_1 = 0 - (-2) = 2$.

Зная первый член и разность, мы можем найти следующие члены прогрессии по формуле $a_{n+1} = a_n + d$:

• $a_3 = a_2 + d = 0 + 2 = 2$
• $a_4 = a_3 + d = 2 + 2 = 4$
• $a_5 = a_4 + d = 4 + 2 = 6$
• $a_6 = a_5 + d = 6 + 2 = 8$

Таким образом, первые шесть членов прогрессии: -2, 0, 2, 4, 6, 8.

Изобразите точками на координатной плоскости первые шесть членов арифметической прогрессии

Для изображения членов прогрессии на координатной плоскости, мы будем использовать номер члена $n$ в качестве координаты по оси абсцисс (x), а значение члена $a_n$ — в качестве координаты по оси ординат (y). Таким образом, мы получаем шесть точек с координатами $(n, a_n)$:

• (1, -2)
• (2, 0)
• (3, 2)
• (4, 4)
• (5, 6)
• (6, 8)

Изобразим эти точки на координатной плоскости.

Ответ: Точки изображены на графике выше. Они лежат на одной прямой.

Напишите уравнение прямой, на которой расположены эти точки

Общая формула для нахождения n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Эта формула задает линейную функцию, где $a_n$ зависит от $n$. Подставим в нее наши значения $a_1 = -2$ и $d = 2$:

$a_n = -2 + (n-1) \cdot 2$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$a_n = -2 + 2n - 2$

$a_n = 2n - 4$

Чтобы получить уравнение прямой в привычной системе координат $(x, y)$, заменим номер члена $n$ на переменную $x$, а значение члена $a_n$ на переменную $y$.

Ответ: $y = 2x - 4$.

12. Верно ли, что если числа $a$, $b$, $c$ — три последовательных члена арифметической прогрессии, то числа $a^2+ab+b^2$, $a^2+ac+c^2$, $b^2+bc+c^2$ также являются тремя последовательными членами некоторой арифметической прогрессии?

Чтобы проверить, является ли данное утверждение верным, воспользуемся характеристическим свойством арифметической прогрессии.

Дано: числа $a$, $b$, $c$ — три последовательных члена арифметической прогрессии.Это означает, что средний член $b$ является средним арифметическим двух крайних, то есть выполняется равенство:$b = \frac{a+c}{2}$, или, что то же самое, $2b = a+c$.

Нужно проверить: образуют ли числа $x = a^2+ab+b^2$, $y = a^2+ac+c^2$ и $z = b^2+bc+c^2$ также арифметическую прогрессию.Для того чтобы эти три числа были последовательными членами арифметической прогрессии, для них должно выполняться аналогичное свойство: средний член $y$ должен быть равен среднему арифметическому двух крайних, то есть должно выполняться равенство:$2y = x+z$.

Подставим выражения для $x$, $y$ и $z$ в это равенство и проверим, является ли оно тождеством при условии, что $2b = a+c$.$2(a^2+ac+c^2) = (a^2+ab+b^2) + (b^2+bc+c^2)$

Преобразуем правую часть равенства:$(a^2+ab+b^2) + (b^2+bc+c^2) = a^2 + ab + 2b^2 + bc + c^2$Сгруппируем слагаемые:$a^2 + c^2 + 2b^2 + (ab+bc)$Вынесем $b$ за скобки в последней группе:$a^2 + c^2 + 2b^2 + b(a+c)$

Теперь воспользуемся условием, что $a$, $b$, $c$ — члены арифметической прогрессии, то есть $a+c = 2b$. Подставим это в полученное выражение:$a^2 + c^2 + 2b^2 + b(2b) = a^2 + c^2 + 2b^2 + 2b^2 = a^2 + c^2 + 4b^2$

Снова вернемся к условию $a+c=2b$. Возведем обе части этого равенства в квадрат:$(a+c)^2 = (2b)^2$$a^2+2ac+c^2 = 4b^2$

Подставим выражение для $4b^2$ в нашу правую часть:$a^2 + c^2 + (a^2+2ac+c^2) = 2a^2 + 2ac + 2c^2$

Теперь сравним полученный результат с левой частью проверяемого равенства:Левая часть: $2(a^2+ac+c^2) = 2a^2+2ac+c^2$

Правая часть после преобразований: $2a^2+2ac+c^2$

Левая и правая части равны. Это означает, что равенство $2y = x+z$ выполняется всегда, когда выполняется условие $2b=a+c$.Следовательно, утверждение верно.

Ответ: Верно, данные числа являются тремя последовательными членами некоторой арифметической прогрессии.

13. В арифметической прогрессии $\frac{a_5}{a_3}=\frac{7}{5}$. Докажите, что $a_{16}=2a_7$.

Пусть $\{a_n\}$ — заданная арифметическая прогрессия, где $a_1$ — её первый член, а $d$ — разность прогрессии.

Общая формула для n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Используя эту формулу, выразим члены $a_3$ и $a_5$:
$a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$
$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$

По условию задачи дано соотношение $\frac{a_5}{a_3} = \frac{7}{5}$. Подставим в него полученные выражения для $a_3$ и $a_5$:
$\frac{a_1 + 4d}{a_1 + 2d} = \frac{7}{5}$

Для решения этого уравнения воспользуемся свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$5 \cdot (a_1 + 4d) = 7 \cdot (a_1 + 2d)$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые, чтобы найти связь между $a_1$ и $d$:
$5a_1 + 20d = 7a_1 + 14d$
$20d - 14d = 7a_1 - 5a_1$
$6d = 2a_1$
$a_1 = 3d$

Теперь нам необходимо доказать, что $a_{16} = 2a_7$. Снова воспользуемся формулой n-го члена, чтобы выразить $a_{16}$ и $a_7$:
$a_{16} = a_1 + (16-1)d = a_1 + 15d$
$a_7 = a_1 + (7-1)d = a_1 + 6d$

Подставим в эти выражения найденное ранее соотношение $a_1 = 3d$:
$a_{16} = (3d) + 15d = 18d$
$a_7 = (3d) + 6d = 9d$

Проверим, выполняется ли равенство $a_{16} = 2a_7$, подставив полученные значения:
$18d = 2 \cdot (9d)$
$18d = 18d$

Мы получили верное тождество, следовательно, исходное равенство $a_{16} = 2a_7$ доказано. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство приведено выше.