Страница 30, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

16. Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1–5.

Общепринятые форматы бумаги обозначают буквой А и цифрой: А0, А1, А2 и т. д. Лист формата А0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 $м^2$. Если лист формата А0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получаются два равных листа формата А1. Если лист А1 разрезать так же пополам, получаются два листа формата А2, и т. д.

Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.

1. В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы А1, А3, А4 и А5.

Номер листа, Длина, мм, Ширина, мм

1, 420, 297

2, 297, 210

3, 841, 594

4, 210, 148

Установите соответствие между форматами и номерами листов (заполните таблицу).

N, Ai, A3, A4, A5

2. Сколько листов формата А6 получится из одного листа формата А3?

Ответ:

3. Найдите площадь листа формата А6. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ:

4. Найдите отношение длины большей стороны листа формата А6 к меньшей. Ответ округлите до десятых.

Ответ:

5. Бумагу формата А2 упаковали в пачки по 200 листов. Найдите массу пачки, если масса такой бумаги площадью 1 $м^2$ равна 80 г. Ответ дайте в граммах.

Ответ:

1. Установите соответствие между форматами и номерами листов (заполните таблицу).

Согласно условию, чем больше номер формата, тем меньше размеры листа. Формат A(n+1) получается разрезанием формата A(n) пополам параллельно его меньшей стороне. Следовательно, и длина, и ширина у листов с большим номером будут меньше.
Сравним размеры листов, приведенные в таблице:

• Лист 1: 420 мм x 297 мм
• Лист 2: 297 мм x 210 мм
• Лист 3: 841 мм x 594 мм
• Лист 4: 210 мм x 148 мм

Расположим форматы в порядке убывания их размера: A1 > A3 > A4 > A5.

• Самый большой лист — лист 3 (841 x 594 мм). Это формат A1.
• Следующий по размеру должен быть A3. Проверим: если разрезать лист А1 (841x594) пополам, получим два листа А2 размером 594x420.5 мм. Если разрезать лист А2 пополам, получим два листа А3 размером 420.5x297 мм. Это соответствует листу 1 (420 x 297 мм). Значит, лист 1 — это формат A3.
• Разрезав лист A3 (420 x 297 мм) пополам, получим два листа А4 размером 297x210 мм. Это соответствует листу 2. Значит, лист 2 — это формат A4.
• Разрезав лист A4 (297 x 210 мм) пополам, получим два листа А5 размером 210x148.5 мм. Это соответствует листу 4 (210 x 148 мм). Значит, лист 4 — это формат A5.

Заполним таблицу соответствия:

Ответ: 3124

2. Сколько листов формата А6 получится из одного листа формата А3?

Каждый следующий формат получается разрезанием предыдущего на две равные части. Таким образом, количество листов удваивается при увеличении номера формата на единицу.

• Из 1 листа A3 получается 2 листа A4.
• Из 2 листов A4 получается $2 \times 2 = 4$ листа A5.
• Из 4 листов A5 получается $4 \times 2 = 8$ листов A6.

Альтернативно, можно использовать формулу $2^{n-k}$, где $n$ и $k$ — номера форматов. В данном случае, количество листов А6 из одного листа А3 равно $2^{6-3} = 2^3 = 8$.
Ответ: 8

3. Найдите площадь листа формата А6. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Из задания 1 мы знаем размеры листа формата А5: 210 мм x 148 мм (лист 4).
Чтобы получить лист А6, нужно разрезать лист А5 пополам параллельно его меньшей стороне (148 мм). Большая сторона листа А5 (210 мм) делится пополам.
Размеры листа А6 будут: 148 мм x (210 мм / 2) = 148 мм x 105 мм.
Переведем размеры в сантиметры (1 см = 10 мм): 14,8 см x 10,5 см.
Найдем площадь: $S = 14,8 \text{ см} \times 10,5 \text{ см} = 155,4 \text{ см}^2$.
Ответ: 155,4

4. Найдите отношение длины большей стороны листа формата А6 к меньшей. Ответ округлите до десятых.

В условии сказано, что отношение большей стороны к меньшей стороне листа для всех форматов одно и то же. Мы можем использовать вычисленные в предыдущем задании размеры листа А6: 148 мм (большая сторона) и 105 мм (меньшая сторона).
Найдем отношение:
$\frac{148}{105} \approx 1,4095...$
Округлим результат до десятых: 1,4.
Для проверки можно взять размеры другого формата, например А4 (297 мм x 210 мм):
$\frac{297}{210} \approx 1,4142...$
Округление до десятых также дает 1,4. Небольшая разница в результатах возникает из-за округления размеров листов в исходной таблице.
Ответ: 1,4

5. Бумагу формата А2 упаковали в пачки по 200 листов. Найдите массу пачки, если масса такой бумаги площадью 1 м² равна 80 г. Ответ дайте в граммах.

Площадь листа формата А0 равна 1 м².
Площадь каждого последующего формата в два раза меньше предыдущего:

• Площадь листа A1 = $\frac{1}{2}$ м².
• Площадь листа A2 = $\frac{1}{4}$ м².

Найдем общую площадь 200 листов формата А2:
$S_{\text{общая}} = 200 \times S_{A2} = 200 \times \frac{1}{4} \text{ м}^2 = 50 \text{ м}^2$.
Масса бумаги площадью 1 м² равна 80 г. Найдем массу всей пачки:
$m = S_{\text{общая}} \times 80 \frac{\text{г}}{\text{м}^2} = 50 \text{ м}^2 \times 80 \frac{\text{г}}{\text{м}^2} = 4000 \text{ г}$.
Ответ: 4000

8. Пусть $(b_n)$ — последовательность взятых в порядке возрастания простых чисел, не превосходящих 60. Укажите:

а) первые пять членов последовательности: ............................

............................

б) последние пять членов последовательности: ....................

По условию задачи, последовательность $(b_n)$ — это все простые числа, не превосходящие 60, расположенные в порядке возрастания. Простое число — это натуральное число больше единицы, которое делится без остатка только на 1 и на само себя.

Для решения задачи нам нужно найти все такие числа.

Выпишем последовательно все простые числа от 1 до 60:

• Простые числа от 1 до 10: 2, 3, 5, 7.
• Простые числа от 11 до 20: 11, 13, 17, 19.
• Простые числа от 21 до 30: 23, 29.
• Простые числа от 31 до 40: 31, 37.
• Простые числа от 41 до 50: 41, 43, 47.
• Простые числа от 51 до 60: 53, 59. (Число 51 не является простым, так как $51 = 3 \cdot 17$; 57 не является простым, так как $57 = 3 \cdot 19$).

Таким образом, полная последовательность $(b_n)$ выглядит так:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59.

а) первые пять членов последовательности:

Нам нужно указать первые пять чисел из найденной последовательности. Это $b_1, b_2, b_3, b_4$ и $b_5$.

Ответ: 2, 3, 5, 7, 11.

б) последние пять членов последовательности:

Нам нужно указать последние пять чисел из найденной последовательности. Для этого посмотрим на конец списка.

Ответ: 41, 43, 47, 53, 59.

9. Последовательность ($a_n$) задана формулой $a_n=n^2-16n+15$. Укажите номера отрицательных членов последовательности и вычислите эти члены.

Для того чтобы найти отрицательные члены последовательности, заданной формулой $a_n = n^2 - 16n + 15$, необходимо решить неравенство $a_n < 0$.

Укажите номера отрицательных членов последовательности

Решим неравенство $n^2 - 16n + 15 < 0$.

Для этого сначала найдем корни квадратного уравнения $n^2 - 16n + 15 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 256 - 60 = 196 = 14^2$

Найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$n_1 = \frac{16 - 14}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$n_2 = \frac{16 + 14}{2} = \frac{30}{2} = 15$

Графиком функции $y = n^2 - 16n + 15$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции отрицательны на интервале между ее корнями, то есть при $1 < n < 15$.

Так как номер члена последовательности $n$ является натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$), то отрицательными будут члены с номерами от 2 до 14 включительно.Номера отрицательных членов: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14.

Вычислите эти члены

Теперь вычислим значения членов последовательности для каждого из найденных номеров $n$.

При $n=2$: $a_2 = 2^2 - 16 \cdot 2 + 15 = 4 - 32 + 15 = -13$

При $n=3$: $a_3 = 3^2 - 16 \cdot 3 + 15 = 9 - 48 + 15 = -24$

При $n=4$: $a_4 = 4^2 - 16 \cdot 4 + 15 = 16 - 64 + 15 = -33$

При $n=5$: $a_5 = 5^2 - 16 \cdot 5 + 15 = 25 - 80 + 15 = -40$

При $n=6$: $a_6 = 6^2 - 16 \cdot 6 + 15 = 36 - 96 + 15 = -45$

При $n=7$: $a_7 = 7^2 - 16 \cdot 7 + 15 = 49 - 112 + 15 = -48$

При $n=8$: $a_8 = 8^2 - 16 \cdot 8 + 15 = 64 - 128 + 15 = -49$

При $n=9$: $a_9 = 9^2 - 16 \cdot 9 + 15 = 81 - 144 + 15 = -48$

При $n=10$: $a_{10} = 10^2 - 16 \cdot 10 + 15 = 100 - 160 + 15 = -45$

При $n=11$: $a_{11} = 11^2 - 16 \cdot 11 + 15 = 121 - 176 + 15 = -40$

При $n=12$: $a_{12} = 12^2 - 16 \cdot 12 + 15 = 144 - 192 + 15 = -33$

При $n=13$: $a_{13} = 13^2 - 16 \cdot 13 + 15 = 169 - 208 + 15 = -24$

При $n=14$: $a_{14} = 14^2 - 16 \cdot 14 + 15 = 196 - 224 + 15 = -13$

Ответ: Номера отрицательных членов последовательности: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14. Значения этих членов: $a_2=-13$, $a_3=-24$, $a_4=-33$, $a_5=-40$, $a_6=-45$, $a_7=-48$, $a_8=-49$, $a_9=-48$, $a_{10}=-45$, $a_{11}=-40$, $a_{12}=-33$, $a_{13}=-24$, $a_{14}=-13$.

10. Последовательность ($c_n$) задана следующим условием: $c_1 = -5$, $c_{n+1} = -4c_n$.

а) Укажите, как называется использованный здесь способ задания последовательности:

б) Выпишите первые пять членов последовательности:

а) Способ задания последовательности, при котором указывается формула для нахождения любого члена последовательности через предыдущие члены, а также задаются один или несколько начальных членов, называется рекуррентным. В данном случае задан первый член $c_1 = -5$ и рекуррентная формула $c_{n+1} = -4c_n$, которая связывает каждый следующий член с предыдущим.

Ответ: рекуррентный способ.

б) Для того чтобы выписать первые пять членов последовательности, воспользуемся ее определением.
Первый член задан по условию:
$c_1 = -5$.

Второй член найдем по рекуррентной формуле $c_{n+1} = -4c_n$, подставив в нее $n=1$:
$c_2 = -4c_1 = -4 \cdot (-5) = 20$.

Третий член найдем, подставив $n=2$:
$c_3 = -4c_2 = -4 \cdot 20 = -80$.

Четвертый член найдем, подставив $n=3$:
$c_4 = -4c_3 = -4 \cdot (-80) = 320$.

Пятый член найдем, подставив $n=4$:
$c_5 = -4c_4 = -4 \cdot 320 = -1280$.

Ответ: -5; 20; -80; 320; -1280.