Страница 24, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

11. В таблице представлены сведения о пиццах в интернет-магазине.

Номер пиццы Состав/название Тип Стоимость, р.

1 Говядина, оливки, помидоры Мясная 450

2 Ветчина Мясная 320

3 «2 сыра» Вегетарианская 240

4 Курица, грибы, майонез Мясная 400

5 Оливки, сладкий перец, помидоры Вегетарианская 330

6 Ветчина, грибы Мясная 340

Виталию нужно купить три разные пиццы так, чтобы среди них была хотя бы одна с грибами, хотя бы одна вегетарианская и хотя бы одна мясная. Какие пиццы должен выбрать Виталий, если он рассчитывает потратить на всё не более 900 р.? В ответе укажите какой-нибудь один набор номеров пицц.

Для решения задачи Виталию необходимо выбрать три разные пиццы, которые удовлетворяют следующим условиям:

1. Среди них есть хотя бы одна пицца с грибами.
2. Среди них есть хотя бы одна вегетарианская пицца.
3. Среди них есть хотя бы одна мясная пицца.
4. Общая стоимость всех трёх пицц не превышает 900 рублей.

Для начала проанализируем меню, чтобы определить, какие пиццы соответствуют каждому критерию:

Пиццы с грибами:
- №4 «Курица, грибы, майонез» (Мясная, 400 р.)
- №6 «Ветчина, грибы» (Мясная, 340 р.)

Вегетарианские пиццы:
- №3 «2 сыра» (240 р.)
- №5 «Оливки, сладкий перец, помидоры» (330 р.)

Мясные пиццы:
- №1 «Говядина, оливки, помидоры» (450 р.)
- №2 «Ветчина» (320 р.)
- №4 «Курица, грибы, майонез» (400 р.)
- №6 «Ветчина, грибы» (340 р.)

Можно заметить, что обе пиццы с грибами (№4 и №6) одновременно являются и мясными. Это упрощает задачу: выбрав любую из них, мы сразу выполняем два условия из трёх. Чтобы с большей вероятностью уложиться в бюджет, будем составлять комбинацию из наиболее дешевых пицц, удовлетворяющих условиям.

Шаг 1: Выбор пиццы с грибами (и одновременно мясной).
Выберем самую дешевую пиццу с грибами — это пицца №6 «Ветчина, грибы» стоимостью 340 р. Условия о наличии мясной пиццы и пиццы с грибами выполнены.

Шаг 2: Выбор вегетарианской пиццы.
Теперь нужно добавить вегетарианскую пиццу. Выберем самую дешевую из них — пиццу №3 «2 сыра» стоимостью 240 р.

Суммарная стоимость двух выбранных пицц (№6 и №3) составляет: $340 + 240 = 580$ р.

Шаг 3: Выбор третьей пиццы.
Оставшийся бюджет на третью пиццу: $900 - 580 = 320$ р. Нам нужна еще одна пицца, отличная от уже выбранных №3 и №6, стоимостью не более 320 р. Проверим оставшиеся варианты:

- Пицца №1 (450 р.) — не подходит по цене.
- Пицца №2 (320 р.) — подходит, так как её стоимость $320 \le 320$.
- Пицца №4 (400 р.) — не подходит по цене.
- Пицца №5 (330 р.) — не подходит по цене.

Единственный подходящий вариант для третьей пиццы — это пицца №2 «Ветчина».

Таким образом, мы получили набор пицц с номерами 2, 3 и 6. Проверим его на соответствие всем условиям:

- Три разные пиццы: Да, номера 2, 3 и 6 — разные.
- Есть с грибами: Да, пицца №6.
- Есть вегетарианская: Да, пицца №3.
- Есть мясная: Да, пиццы №2 и №6.
- Общая стоимость: $320 + 240 + 340 = 900$ р.
- Бюджет: $900 \le 900$. Условие выполнено.

Найденный набор пицц полностью удовлетворяет заданию.

Ответ: 2, 3, 6.

12. В таблице даны результаты олимпиад по географии и биологии в 9 «А» классе.

Номер учащегося Балл по географии Балл по биологии

1 69 36

2 88 48

3 53 34

4 98 55

5 44 98

Окончание

Номер учащегося Балл по географии Балл по биологии

6 45 54

7 45 72

8 55 48

9 84 68

Похвальные грамоты дают тем школьникам, у кого суммарный балл по двум олимпиадам больше 120 или хотя бы по одному предмету набрано не меньше 65 баллов.

В ответе укажите номера учащихся 9 «А» класса, набравших меньше 65 баллов по географии и получивших похвальные грамоты.

Для решения задачи необходимо найти номера учащихся, которые удовлетворяют одновременно двум условиям:

1. Балл по географии меньше 65.

2. Получили похвальную грамоту.

Условия для получения похвальной грамоты следующие (достаточно выполнения одного из них):

а) Суммарный балл по двум олимпиадам больше 120.

б) Хотя бы по одному предмету набрано не меньше 65 баллов (то есть, балл по географии $\ge 65$ или балл по биологии $\ge 65$).

Мы ищем учащихся, у которых балл по географии строго меньше 65 ($Б_{гео} < 65$). Это означает, что для них условие б) для получения грамоты может быть выполнено только за счет баллов по биологии ($Б_{биол} \ge 65$), так как условие $Б_{гео} \ge 65$ для них не выполняется.

Следовательно, для искомых учащихся условие получения грамоты выглядит так: (Суммарный балл $> 120$) ИЛИ (Балл по биологии $\ge 65$).

Проанализируем данные по каждому учащемуся в соответствии с искомыми условиями.

Учащийся 1: Балл по географии 69. Не удовлетворяет условию "балл по географии меньше 65".

Учащийся 2: Балл по географии 88. Не удовлетворяет условию "балл по географии меньше 65".

Учащийся 3: Балл по географии 53 ($53 < 65$). Проверяем на получение грамоты: суммарный балл $53+34=87$ ($87 \ngtr 120$); балл по биологии 34 ($34 < 65$). Условия для грамоты не выполнены. Не подходит.

Учащийся 4: Балл по географии 98. Не удовлетворяет условию "балл по географии меньше 65".

Учащийся 5: Балл по географии 44 ($44 < 65$). Проверяем на получение грамоты: суммарный балл $44+98=142$ ($142 > 120$). Условие для грамоты выполнено. Подходит.

Учащийся 6: Балл по географии 45 ($45 < 65$). Проверяем на получение грамоты: суммарный балл $45+54=99$ ($99 \ngtr 120$); балл по биологии 54 ($54 < 65$). Условия для грамоты не выполнены. Не подходит.

Учащийся 7: Балл по географии 45 ($45 < 65$). Проверяем на получение грамоты: суммарный балл $45+72=117$ ($117 \ngtr 120$); но балл по биологии 72 ($72 \ge 65$). Условие для грамоты выполнено. Подходит.

Учащийся 8: Балл по географии 55 ($55 < 65$). Проверяем на получение грамоты: суммарный балл $55+48=103$ ($103 \ngtr 120$); балл по биологии 48 ($48 < 65$). Условия для грамоты не выполнены. Не подходит.

Учащийся 9: Балл по географии 84. Не удовлетворяет условию "балл по географии меньше 65".

Таким образом, заданным условиям удовлетворяют учащиеся под номерами 5 и 7.

Ответ: 5, 7

5. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы:

a) $ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 9, \\ y \ge x - 1; \end{cases} $

a)

y^

1–

0 1

x^

б) $ \begin{cases} (x - 1)^2 + (y - 2)^2 \le 4, \\ x^2 + y^2 \le 1. \end{cases} $

б)

y^

1–

0 1

x^

a)

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 9, \\ y \ge x - 1. \end{cases} $$

Первое неравенство $x^2 + y^2 \le 9$ задает множество точек на координатной плоскости, находящихся внутри и на границе окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \sqrt{9} = 3$.

Второе неравенство $y \ge x - 1$ задает полуплоскость, расположенную выше прямой $y = x - 1$, включая саму прямую. Для построения этой прямой найдем две точки, принадлежащие ей. Удобно взять точки пересечения с осями координат:

Чтобы определить, какая из полуплоскостей является решением, возьмем контрольную точку, не лежащую на прямой, например, начало координат (0, 0). Подставим ее в неравенство: $0 \ge 0 - 1$, что является верным утверждением ($0 \ge -1$). Следовательно, нам нужна полуплоскость, содержащая начало координат.

Решением системы является пересечение этих двух множеств: часть круга радиусом 3 с центром в (0,0), которая лежит выше и на прямой $y = x - 1$.

Графически это выглядит следующим образом (искомое множество закрашено):

Ответ: Множество решений представляет собой сегмент круга, ограниченный сверху дугой окружности $x^2 + y^2 = 9$ и снизу хордой, лежащей на прямой $y = x - 1$. Границы, то есть дуга и хорда, включаются в множество решений.

б)

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} (x - 1)^2 + (y - 2)^2 \le 4, \\ x^2 + y^2 \ge 1. \end{cases} $$

Первое неравенство $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 \le 4$ задает множество точек, находящихся внутри и на границе окружности с центром в точке $C_1(1, 2)$ и радиусом $R_1 = \sqrt{4} = 2$.

Второе неравенство $x^2 + y^2 \ge 1$ задает множество точек, находящихся вне и на границе окружности с центром в начале координат $C_2(0, 0)$ и радиусом $R_2 = \sqrt{1} = 1$.

Решением системы является пересечение этих двух множеств. Это точки, которые одновременно принадлежат первому кругу (с центром в (1,2) и радиусом 2) и находятся вне или на границе второго круга (с центром в (0,0) и радиусом 1). Геометрически это первый круг, из которого "вырезана" область, принадлежащая второму кругу.

Графически это выглядит следующим образом (искомое множество закрашено):

Ответ: Множество решений представляет собой фигуру, полученную из круга с центром в (1, 2) и радиусом 2, из которой удалены все внутренние точки круга с центром в (0, 0) и радиусом 1. Границы обеих окружностей включаются в множество решений.

6. На рисунке построена прямая $y=2$. Постройте ещё одну прямую $y=kx+b$ так, чтобы система неравенств $\begin{cases} y \le 2, \\ y \ge kx+b \end{cases}$ задавала на координатной плоскости: а) угол; б) полосу. Запишите полученную систему неравенств.

Ответ:

а) $\begin{cases} \dots, \\ \dots \end{cases}$;

б) $\begin{cases} \dots, \\ \dots \end{cases}$.

а) Чтобы система неравенств $\begin{cases} y \le 2 \\ y \ge kx + b \end{cases}$ задавала на координатной плоскости угол, прямые $y=2$ и $y=kx+b$ должны пересекаться. Две прямые пересекаются, если их угловые коэффициенты различны. Угловой коэффициент прямой $y=2$ равен $0$. Следовательно, для прямой $y=kx+b$ угловой коэффициент $k$ не должен быть равен нулю ($k \neq 0$).

Выберем для примера простую прямую, у которой $k \neq 0$. Например, пусть $k=1$ и $b=0$. Тогда уравнение второй прямой будет $y=x$. Эта прямая проходит через начало координат, точку $(0, 0)$, и точку $(1, 1)$. Построим её на соответствующем графике. Полученная система неравенств имеет вид:

$\begin{cases} y \le 2 \\ y \ge x \end{cases}$

Решением этой системы является область, расположенная одновременно ниже (или на) прямой $y=2$ и выше (или на) прямой $y=x$. Эти две пересекающиеся прямые как раз и образуют на плоскости угол.

Ответ: $\begin{cases} y \le 2 \\ y \ge x \end{cases}$

б) Чтобы система неравенств задавала на координатной плоскости полосу, прямые $y=2$ и $y=kx+b$ должны быть параллельны и не совпадать. Две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент прямой $y=2$ равен $0$. Следовательно, для прямой $y=kx+b$ угловой коэффициент $k$ также должен быть равен нулю ($k=0$).

При $k=0$ уравнение второй прямой принимает вид $y=b$. Система неравенств становится $\begin{cases} y \le 2 \\ y \ge b \end{cases}$. Чтобы эта система задавала полосу, а не одну прямую или пустое множество, необходимо, чтобы $b < 2$.

Выберем для примера простое значение $b$, удовлетворяющее этому условию, например, $b=0$. Тогда уравнение второй прямой — $y=0$ (это ось абсцисс $Ox$). Построим её на соответствующем графике.

Полученная система неравенств имеет вид:

$\begin{cases} y \le 2 \\ y \ge 0 \end{cases}$

Решением этой системы является область, расположенная между параллельными прямыми $y=2$ и $y=0$, включая сами прямые. Эта область представляет собой горизонтальную полосу.

Ответ: $\begin{cases} y \le 2 \\ y \ge 0 \end{cases}$