Страница 25, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

13. Для транспортировки 45 т груза на 1300 км можно воспользоваться услугами одной из трёх фирм-перевозчиков. Стоимость перевозки и грузоподъёмность автомобилей каждого перевозчика указаны в таблице.

Перевозчик Стоимость перевозки одним автомобилем, р. на 100 км Грузоподъёмность одного автомобиля, т

А 3200 3,5

Б 4100 5

В 9500 12

Сколько рублей придётся заплатить за самую дешёвую перевозку?

Для того чтобы найти самую дешёвую перевозку, необходимо рассчитать полную стоимость транспортировки для каждой из трёх фирм, а затем выбрать из них наименьшую.

А

1. Сначала определим необходимое количество автомобилей. Грузоподъёмность одного автомобиля этой фирмы составляет 3,5 тонны. Для перевозки 45 тонн груза потребуется:$45 / 3,5 \approx 12,86$.Так как количество автомобилей должно быть целым, округляем его в большую сторону до 13 автомобилей.

2. Теперь рассчитаем стоимость перевозки для одного автомобиля на расстояние 1300 км. Стоимость за 100 км составляет 3200 рублей.Стоимость для одного автомобиля: $(1300 / 100) \cdot 3200 = 13 \cdot 3200 = 41600$ рублей.

3. Рассчитаем общую стоимость услуг перевозчика А:$13 \text{ автомобилей} \cdot 41600 \text{ рублей} = 540800$ рублей.

Б

1. Определим необходимое количество автомобилей. Грузоподъёмность одного автомобиля — 5 тонн.$45 / 5 = 9$.Потребуется ровно 9 автомобилей.

2. Рассчитаем стоимость перевозки для одного автомобиля. Стоимость за 100 км — 4100 рублей.Стоимость для одного автомобиля: $(1300 / 100) \cdot 4100 = 13 \cdot 4100 = 53300$ рублей.

3. Рассчитаем общую стоимость услуг перевозчика Б:$9 \text{ автомобилей} \cdot 53300 \text{ рублей} = 479700$ рублей.

В

1. Определим необходимое количество автомобилей. Грузоподъёмность одного автомобиля — 12 тонн.$45 / 12 = 3,75$.Округляем в большую сторону до 4 автомобилей.

2. Рассчитаем стоимость перевозки для одного автомобиля. Стоимость за 100 км — 9500 рублей.Стоимость для одного автомобиля: $(1300 / 100) \cdot 9500 = 13 \cdot 9500 = 123500$ рублей.

3. Рассчитаем общую стоимость услуг перевозчика В:$4 \text{ автомобиля} \cdot 123500 \text{ рублей} = 494000$ рублей.

Сравнив полученные стоимости (540 800 р. у А, 479 700 р. у Б и 494 000 р. у В), мы видим, что самый дешёвый вариант предлагает перевозчик Б.

Ответ: 479700

7. Какую фигуру задаёт множество решений системы неравенств:

a) $\begin{cases} x - y + 4 \ge 0 \\ 2x + y \le 4 \\ y \ge 0 \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 \le 16 \\ x^2 + y^2 \ge 4 \end{cases}$

Изобразите данную фигуру на рисунке и найдите её площадь.

a)

б)

Ответ: a)

б)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} x - y + 4 \ge 0, \\ 2x + y \le 4, \\ y \ge 0; \end{cases} $

Каждое неравенство в системе задает полуплоскость. Решением системы является пересечение этих полуплоскостей. Преобразуем неравенства, чтобы определить их границы:

1. $x - y + 4 \ge 0 \implies y \le x + 4$. Это полуплоскость, расположенная на и ниже прямой $y = x + 4$.
2. $2x + y \le 4 \implies y \le -2x + 4$. Это полуплоскость, расположенная на и ниже прямой $y = -2x + 4$.
3. $y \ge 0$. Это полуплоскость, расположенная на и выше оси абсцисс (оси Ox).

Фигура, задаваемая этой системой, является треугольником, ограниченным прямыми $y = x + 4$, $y = -2x + 4$ и $y = 0$.

Найдем координаты вершин этого треугольника, решив системы уравнений для точек пересечения этих прямых:

• Вершина A (пересечение $y=x+4$ и $y=0$):
  $0 = x + 4 \implies x = -4$. Точка A(-4, 0).
• Вершина B (пересечение $y=-2x+4$ и $y=0$):
  $0 = -2x + 4 \implies 2x = 4 \implies x = 2$. Точка B(2, 0).
• Вершина C (пересечение $y=x+4$ и $y=-2x+4$):
  $x + 4 = -2x + 4 \implies 3x = 0 \implies x = 0$.
  $y = 0 + 4 = 4$. Точка C(0, 4).

Заполним таблицу координатами некоторых вершин для построения:

Изображение фигуры на координатной плоскости:

Для нахождения площади треугольника ABC используем формулу $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$.

Основание треугольника AB лежит на оси Ox, его длина $a = |2 - (-4)| = 6$.

Высота CH, опущенная из вершины C на основание AB, равна ординате точки C: $h = 4$.

Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$.

Ответ: Фигура является треугольником с вершинами в точках $(-4; 0)$, $(2; 0)$, $(0; 4)$. Его площадь равна 12.

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 16, \\ x^2 + y^2 \ge 4. \end{cases} $

1. Неравенство $x^2 + y^2 \le 16$ задает круг с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \sqrt{16} = 4$.

2. Неравенство $x^2 + y^2 \ge 4$ задает область вне круга с центром в (0, 0) и радиусом $r = \sqrt{4} = 2$, включая его границу.

Решением системы является пересечение этих двух множеств, то есть все точки, которые находятся между двумя концентрическими окружностями или на них. Такая фигура называется кольцом (или аннулусом).

Заполним таблицу точками, лежащими на границах кольца:

Изображение фигуры на координатной плоскости:

Площадь кольца находится как разность площадей большого и малого кругов.

Площадь большого круга ($S_R$) с радиусом $R=4$: $S_R = \pi R^2 = \pi \cdot 4^2 = 16\pi$.

Площадь малого круга ($S_r$) с радиусом $r=2$: $S_r = \pi r^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$.

Площадь кольца: $S = S_R - S_r = 16\pi - 4\pi = 12\pi$.

Ответ: Фигура является кольцом, ограниченным окружностями с центром в начале координат и радиусами 2 и 4. Его площадь равна $12\pi$.

8. Одна из сторон острого угла проходит через точки $A(3; 0)$ и $B(-3; 3)$, другая — через точки $C(2; 4)$ и $D(-1; 2)$. Постройте эти прямые. Задайте образовавшийся острый угол между ними системой неравенств.

Задача состоит из двух частей: построение двух прямых по заданным точкам и определение острого угла между ними с помощью системы неравенств.

Сначала найдем уравнения для каждой из двух прямых.

1. Первая прямая проходит через точки A(3; 0) и B(–3; 3).Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, имеет вид:

$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$

Подставим координаты точек A и B:

$\frac{y - 0}{3 - 0} = \frac{x - 3}{-3 - 3}$

$\frac{y}{3} = \frac{x - 3}{-6}$

$-6y = 3(x - 3)$

$-2y = x - 3$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить общее уравнение прямой $L_1$:

$x + 2y - 3 = 0$

2. Вторая прямая проходит через точки C(2; 4) и D(–1; 2).Подставим координаты этих точек в ту же формулу:

$\frac{y - 2}{4 - 2} = \frac{x - (-1)}{2 - (-1)}$

$\frac{y - 2}{2} = \frac{x + 1}{3}$

$3(y - 2) = 2(x + 1)$

$3y - 6 = 2x + 2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить общее уравнение прямой $L_2$:

$2x - 3y + 8 = 0$

Теперь построим эти прямые на координатной плоскости, отметив заданные точки.

Ответ: Уравнение первой прямой (синяя): $x + 2y - 3 = 0$. Уравнение второй прямой (красная): $2x - 3y + 8 = 0$. Графики прямых построены на рисунке выше.

Две пересекающиеся прямые делят плоскость на четыре угла (две пары вертикальных углов). Одна пара углов — острые, другая — тупые (если прямые не перпендикулярны). Нам нужно задать один из острых углов системой неравенств.

Уравнения прямых в общем виде $Ax + By + C = 0$:

$L_1: x + 2y - 3 = 0$

$L_2: 2x - 3y + 8 = 0$

Для определения типа угла (острый или тупой) можно использовать скалярное произведение их нормальных векторов $\vec{n_1}=(A_1, B_1)$ и $\vec{n_2}=(A_2, B_2)$.

Для наших прямых нормальные векторы:

$\vec{n_1} = (1, 2)$

$\vec{n_2} = (2, -3)$

Найдем их скалярное произведение:

$A_1A_2 + B_1B_2 = (1)(2) + (2)(-3) = 2 - 6 = -4$

Поскольку скалярное произведение отрицательно ($A_1A_2 + B_1B_2 < 0$), угол между векторами нормалей $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ является тупым. Это означает, что области, где выражения $x + 2y - 3$ и $2x - 3y + 8$ имеют противоположные знаки, соответствуют острым углам между прямыми.

Таким образом, острые углы задаются совокупностью двух систем неравенств:

1) $\begin{cases} x + 2y - 3 \ge 0 \\ 2x - 3y + 8 \le 0 \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + 2y - 3 \le 0 \\ 2x - 3y + 8 \ge 0 \end{cases}$

Любая из этих двух систем описывает один из двух острых углов. Выберем, например, вторую систему. Она описывает тот угол, в котором лежит начало координат (0,0), так как $0+2(0)-3 = -3 \le 0$ и $2(0)-3(0)+8 = 8 \ge 0$.

Ответ: Острый угол, образованный данными прямыми, может быть задан следующей системой неравенств (включая сами стороны угла):

$$ \begin{cases} x + 2y - 3 \le 0 \\ 2x - 3y + 8 \ge 0 \end{cases} $$

(В качестве ответа также может быть принята и другая система: $\begin{cases} x + 2y - 3 \ge 0 \\ 2x - 3y + 8 \le 0 \end{cases}$)