Страница 23, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

9. Для того чтобы связать свитер, хозяйке нужно 400 г шерстяной пряжи синего цвета. Можно купить синюю пряжу по цене 60 р. за 50 г, а можно купить неокрашенную пряжу по цене 50 р. за 50 г и окрасить её. Один пакетик краски стоит 10 р. и рассчитан на окраску 200 г пряжи. Какой вариант покупки дешевле? В ответе запишите, сколько рублей будет стоить эта покупка.

Для того чтобы определить, какой вариант покупки дешевле, необходимо рассчитать и сравнить стоимость каждого из них.

Расчет стоимости варианта 1: покупка готовой синей пряжи

1. Найдем необходимое количество мотков пряжи. Хозяйке нужно 400 г пряжи, а один моток весит 50 г. Следовательно, количество мотков равно:

$400 \text{ г} \div 50 \text{ г} = 8$ мотков.

2. Рассчитаем общую стоимость. Цена одного мотка синей пряжи составляет 60 рублей:

$8 \times 60 = 480$ рублей.

Расчет стоимости варианта 2: покупка неокрашенной пряжи и краски

1. Рассчитаем стоимость неокрашенной пряжи. Количество мотков то же самое (8), но цена за один моток составляет 50 рублей:

$8 \times 50 = 400$ рублей.

2. Рассчитаем, сколько пакетиков краски потребуется. Один пакетик рассчитан на 200 г пряжи, а нужно окрасить 400 г:

$400 \text{ г} \div 200 \text{ г} = 2$ пакетика.

3. Рассчитаем стоимость краски при цене 10 рублей за пакетик:

$2 \times 10 = 20$ рублей.

4. Найдем общую стоимость второго варианта, сложив стоимость пряжи и краски:

$400 + 20 = 420$ рублей.

Сравнение и итоговый ответ

Сравниваем стоимость двух вариантов: 480 рублей (вариант 1) и 420 рублей (вариант 2). Поскольку $420 < 480$, вариант с покупкой неокрашенной пряжи и краски является более дешевым.

В ответе требуется указать стоимость этой самой дешевой покупки.

Ответ: 420

10. Сергей Петрович хочет купить в интернет-магазине микроволновую печь определённой модели. В таблице показано 6 предложений от разных интернет-магазинов.

Сергей Петрович считает, что покупку нужно делать в магазине, рейтинг которого не ниже 4. Среди магазинов, удовлетворяющих этому условию, выберите предложение с самой низкой стоимостью покупки с учётом доставки. В ответе запишите номер выбранного магазина.

Согласно условию, необходимо выбрать магазин, рейтинг которого не ниже 4. Проанализируем все предложения из таблицы:

• Магазин 1: рейтинг 2,5 – не подходит, так как $2,5 < 4$.
• Магазин 2: рейтинг 4,5 – подходит, так как $4,5 \ge 4$.
• Магазин 3: рейтинг 4 – подходит, так как $4 \ge 4$.
• Магазин 4: рейтинг 3,5 – не подходит, так как $3,5 < 4$.
• Магазин 5: рейтинг 5 – подходит, так как $5 \ge 4$.
• Магазин 6: рейтинг 4,5 – подходит, так как $4,5 \ge 4$.

Таким образом, мы рассматриваем магазины под номерами 2, 3, 5 и 6. Теперь для каждого из этих магазинов вычислим полную стоимость покупки, которая равна сумме стоимости товара и стоимости доставки, и выберем вариант с наименьшей стоимостью.

Магазин 2:
Полная стоимость: $13\ 200 + 500 = 13\ 700$ рублей.

Магазин 3:
Полная стоимость: $15\ 200 + 0 = 15\ 200$ рублей.

Магазин 5:
Полная стоимость: $14\ 800 + 400 = 15\ 200$ рублей.

Магазин 6:
Полная стоимость: $14\ 900 + 350 = 15\ 250$ рублей.

Сравнивая полученные результаты ($13\ 700$, $15\ 200$, $15\ 200$, $15\ 250$), мы видим, что самая низкая стоимость покупки с учётом доставки предлагается в магазине №2.

Ответ: 2

Для того чтобы пара чисел являлась решением системы неравенств, необходимо, чтобы при подстановке координат этой пары в систему оба неравенства обращались в верные числовые неравенства.

Задача состоит в том, чтобы найти такие значения a и b, при которых пары $(-4; b)$ и $(a; 2)$ будут решениями системы:

$\begin{cases} 2x^2 - y > 5 \\ x + 3y < 12 \end{cases}$

1. Найдем возможные значения для b, используя пару $(-4; b)$

Подставим значения $x = -4$ и $y = b$ в оба неравенства системы:

$\begin{cases} 2(-4)^2 - b > 5 \\ -4 + 3b < 12 \end{cases}$

Решим каждое неравенство относительно b:

Первое неравенство:

$2 \cdot 16 - b > 5$

$32 - b > 5$

$-b > 5 - 32$

$-b > -27$

$b < 27$

Второе неравенство:

$-4 + 3b < 12$

$3b < 12 + 4$

$3b < 16$

$b < \frac{16}{3}$ или $b < 5\frac{1}{3}$

Для того чтобы пара $(-4; b)$ была решением системы, значение b должно удовлетворять обоим условиям: $b < 27$ и $b < \frac{16}{3}$. Наиболее строгим из этих условий является $b < \frac{16}{3}$. Мы можем выбрать любое число, меньшее $\frac{16}{3}$. Например, выберем целое число $b = 1$.

2. Найдем возможные значения для a, используя пару $(a; 2)$

Теперь подставим значения $x = a$ и $y = 2$ в систему неравенств:

$\begin{cases} 2a^2 - 2 > 5 \\ a + 3 \cdot 2 < 12 \end{cases}$

Решим каждое неравенство относительно a:

Первое неравенство:

$2a^2 > 5 + 2$

$2a^2 > 7$

$a^2 > \frac{7}{2}$

$a^2 > 3.5$

Решением этого неравенства являются все значения a, такие что $a < -\sqrt{3.5}$ или $a > \sqrt{3.5}$.

Второе неравенство:

$a + 6 < 12$

$a < 12 - 6$

$a < 6$

Значение a должно удовлетворять обоим найденным условиям: $(a < -\sqrt{3.5} \text{ или } a > \sqrt{3.5})$ и одновременно $a < 6$. Объединив эти условия, получаем, что a должно принадлежать множеству $(-\infty; -\sqrt{3.5}) \cup (\sqrt{3.5}; 6)$. Так как $\sqrt{3.5} \approx 1.87$, мы можем выбрать любое число из интервалов $(-\infty; -1.87)$ или $(1.87; 6)$. Например, выберем целое число $a = 4$.

Таким образом, мы подобрали пару значений: $a = 4$ и $b = 1$. Проверим их.

Проверка

1. Для пары $(-4; 1)$ ($x=-4, y=1$):

$2(-4)^2 - 1 = 2 \cdot 16 - 1 = 31$. $31 > 5$ (Верно).

$-4 + 3(1) = -1$. $-1 < 12$ (Верно).

Пара $(-4; 1)$ является решением системы.

2. Для пары $(4; 2)$ ($x=4, y=2$):

$2(4)^2 - 2 = 2 \cdot 16 - 2 = 30$. $30 > 5$ (Верно).

$4 + 3(2) = 4 + 6 = 10$. $10 < 12$ (Верно).

Пара $(4; 2)$ является решением системы.

Выбранные значения $a$ и $b$ подходят.

Ответ: Например, $a=4$, $b=1$.

4. Покажите штриховкой на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

a) $\begin{cases} 3y - x - 3 \ge 0 \\ 2x - y - 2 \ge 0 \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + y \ge -1 \\ y \le 2 - x \end{cases}$

a)

б)

a)

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} 3y - x - 3 \ge 0 \\ 2x - y - 2 \ge 0 \end{cases} $$ Для того чтобы изобразить множество решений, построим граничные прямые для каждого неравенства и определим нужные полуплоскости.

1. Первое неравенство: $3y - x - 3 \ge 0$. Выразим $y$ через $x$:
$3y \ge x + 3$
$y \ge \frac{1}{3}x + 1$
Решением является полуплоскость, расположенная выше прямой $y = \frac{1}{3}x + 1$, включая саму прямую. Построим эту прямую по двум точкам.

2. Второе неравенство: $2x - y - 2 \ge 0$. Выразим $y$ через $x$:
$2x - 2 \ge y$
$y \le 2x - 2$
Решением является полуплоскость, расположенная ниже прямой $y = 2x - 2$, включая саму прямую. Построим эту прямую по двум точкам.

3. Множество решений системы — это пересечение двух указанных полуплоскостей. Найдём точку пересечения прямых, решив систему уравнений: $$ \begin{cases} y = \frac{1}{3}x + 1 \\ y = 2x - 2 \end{cases} $$ $\frac{1}{3}x + 1 = 2x - 2 \implies 3 = \frac{5}{3}x \implies x = \frac{9}{5} = 1.8$.
$y = 2(1.8) - 2 = 3.6 - 2 = 1.6$.
Точка пересечения: $(1.8, 1.6)$.

Изобразим прямые на координатной плоскости и заштрихуем область, которая удовлетворяет обоим неравенствам ($y \ge \frac{1}{3}x + 1$ и $y \le 2x - 2$).

Ответ: Решением системы является заштрихованная на графике область — угол с вершиной в точке $(1.8, 1.6)$, ограниченный лучами прямых $y = \frac{1}{3}x + 1$ и $y = 2x - 2$.

б)

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} x + y \ge -1 \\ y \le 2 - x \end{cases} $$ Аналогично предыдущему пункту, построим граничные прямые.

1. Первое неравенство: $x + y \ge -1$. Выразим $y$ через $x$:
$y \ge -x - 1$
Решением является полуплоскость, расположенная выше прямой $y = -x - 1$, включая саму прямую. Построим эту прямую по двум точкам.

2. Второе неравенство: $y \le 2 - x$. Можно переписать как $y \le -x + 2$.
Решением является полуплоскость, расположенная ниже прямой $y = -x + 2$, включая саму прямую. Построим эту прямую по двум точкам.

3. Угловые коэффициенты обеих прямых ($y = -x - 1$ и $y = -x + 2$) равны -1. Это означает, что прямые параллельны.

Множество решений системы — это область, которая находится одновременно выше прямой $y = -x - 1$ и ниже прямой $y = -x + 2$. Изобразим это на графике.

Ответ: Решением системы является заштрихованная на графике область — полоса, заключенная между параллельными прямыми $y = -x - 1$ и $y = -x + 2$, включая сами прямые.