Страница 18, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

4. Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле $P = I^2R$, где $I$ — сила тока (в амперах), $R$ — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление (в омах), если мощность составляет 245 Вт, а сила тока равна 7 А.

Ответ:

Для нахождения сопротивления $R$ воспользуемся формулой мощности постоянного тока $P = I^2R$, где $P$ — мощность в ваттах, $I$ — сила тока в амперах, а $R$ — сопротивление в омах.

Из условия задачи нам известны следующие значения:

Мощность $P = 245$ Вт.

Сила тока $I = 7$ А.

Чтобы найти сопротивление $R$, необходимо выразить его из данной формулы. Для этого разделим обе части уравнения на $I^2$:

$R = \frac{P}{I^2}$

Теперь подставим известные числовые значения в полученное выражение:

$R = \frac{245}{7^2}$

Вычислим квадрат силы тока в знаменателе:

$7^2 = 49$

Далее выполним деление:

$R = \frac{245}{49} = 5$

Таким образом, искомое сопротивление составляет 5 Ом.

Ответ: 5.

5. Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле $W = \frac{CU^2}{2}$, где C — ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора (в джоулях) ёмкостью $10^{-3}$ Ф, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 40 В.

Ответ: ......................

Для решения задачи воспользуемся формулой для вычисления энергии заряженного конденсатора $W$:
$W = \frac{CU^2}{2}$
где $C$ — ёмкость конденсатора (в фарадах), а $U$ — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах).

Из условия задачи нам известны следующие величины:
Ёмкость конденсатора $C = 10^{-3}$ Ф.
Разность потенциалов $U = 40$ В.

Подставим данные значения в формулу и выполним расчёт:
$W = \frac{10^{-3} \cdot (40)^2}{2} = \frac{10^{-3} \cdot 1600}{2} = 10^{-3} \cdot 800 = 0,8$ Дж.

Таким образом, энергия конденсатора составляет 0,8 джоуля.

Ответ: 0,8

6. Высота полёта стрелы меняется с течением времени по закону $h(t) = -5t^2 + 45t + 2$, где $h$ — высота в метрах, $t$ — время, прошедшее от начала полёта, в секундах. На какой высоте над землёй будет находиться стрела: а) через 5 с от начала полёта; б) через 10 с от начала полёта?

а) .........................

б) .........................

Ответ: а) ......................... б) .........................

Для решения задачи необходимо подставить заданные значения времени $t$ в формулу высоты полета стрелы $h(t) = -5t^2 + 45t + 2$.

а) Найдем высоту, на которой будет находиться стрела через 5 секунд от начала полета.

Для этого подставим значение $t = 5$ в данное уравнение:

$h(5) = -5 \cdot (5)^2 + 45 \cdot 5 + 2$

Теперь выполним вычисления:

$h(5) = -5 \cdot 25 + 225 + 2$

$h(5) = -125 + 225 + 2$

$h(5) = 100 + 2 = 102$

Следовательно, через 5 секунд стрела будет на высоте 102 метра.

Ответ: 102 м.

б) Найдем высоту, на которой будет находиться стрела через 10 секунд от начала полета.

Для этого подставим значение $t = 10$ в уравнение:

$h(10) = -5 \cdot (10)^2 + 45 \cdot 10 + 2$

Теперь выполним вычисления:

$h(10) = -5 \cdot 100 + 450 + 2$

$h(10) = -500 + 450 + 2$

$h(10) = -50 + 2 = -48$

Согласно математической модели, высота стрелы составит -48 метров. Отрицательное значение высоты означает, что к этому моменту времени стрела уже упала на землю (поскольку время ее полета до падения было меньше 10 секунд).

Ответ: -48 м.

7. Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте $h$ м над землёй, выраженное в километрах, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле $l=\sqrt{\frac{Rh}{500}}$, где $R = 6400$ км — радиус Земли.

На какой высоте следует расположиться наблюдателю, чтобы он видел горизонт на расстоянии 128 км? Ответ дайте в метрах.

Ответ: ........................

Для решения задачи воспользуемся предоставленной формулой, которая связывает расстояние до линии горизонта ($l$) с высотой наблюдателя ($h$) и радиусом Земли ($R$): $l = \sqrt{\frac{Rh}{500}}$

В этой формуле расстояние $l$ выражено в километрах, радиус Земли $R$ — в километрах, а высота наблюдателя $h$ — в метрах.

Из условия задачи нам известны следующие величины:
$l = 128$ км (расстояние до горизонта)
$R = 6400$ км (радиус Земли)

Наша цель — найти высоту $h$. Подставим известные значения в формулу: $128 = \sqrt{\frac{6400 \cdot h}{500}}$

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат: $128^2 = \left(\sqrt{\frac{6400 \cdot h}{500}}\right)^2$
$16384 = \frac{6400 \cdot h}{500}$

Упростим правую часть уравнения, сократив дробь $\frac{6400}{500}$: $\frac{6400}{500} = \frac{64}{5} = 12.8$
Теперь уравнение выглядит так: $16384 = 12.8 \cdot h$

Чтобы найти $h$, разделим обе части уравнения на 12.8: $h = \frac{16384}{12.8}$

Выполним вычисление. Для удобства можно умножить числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе: $h = \frac{163840}{128} = 1280$

Поскольку в исходной формуле высота $h$ измеряется в метрах, мы получили ответ в нужных единицах.

Ответ: 1280.

8. Изобразите на координатной плоскости множество точек, задаваемое неравенством:

a) $y \geq x^2 - 3$;

б) $x^2 + y^2 < 16$.

x y

а) $y \ge x^2 - 3$

Чтобы изобразить множество точек, удовлетворяющих этому неравенству, сначала рассмотрим граничное уравнение $y = x^2 - 3$. Это уравнение задает параболу.

1. Построение графика функции $y = x^2 - 3$.
Это стандартная парабола $y = x^2$, ветви которой направлены вверх, а вершина смещена на 3 единицы вниз по оси OY. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0, -3)$.
Для более точного построения найдем несколько точек, принадлежащих параболе, заполнив таблицу:

2. Определение типа линии.
Так как неравенство нестрогое ($\ge$), точки на самой параболе являются частью решения. Поэтому параболу следует рисовать сплошной линией.

3. Определение области штриховки.
Неравенство $y \ge x^2 - 3$ означает, что для каждого значения $x$ нас интересуют точки, у которых координата $y$ больше или равна значению $x^2 - 3$. Это все точки, лежащие выше параболы и на самой параболе. Для проверки можно взять контрольную точку, не лежащую на параболе, например, начало координат $(0, 0)$.
Подставим ее координаты в неравенство: $0 \ge 0^2 - 3$, что упрощается до $0 \ge -3$. Это верное неравенство. Следовательно, область, содержащая точку $(0, 0)$, является решением.

Ответ: Множество точек — это область, расположенная внутри (выше) параболы $y = x^2 - 3$, включая саму параболу, которая изображается сплошной линией.

б) $x^2 + y^2 < 16$

Чтобы изобразить множество точек, удовлетворяющих этому неравенству, рассмотрим граничное уравнение $x^2 + y^2 = 16$.

1. Построение границы $x^2 + y^2 = 16$.
Это стандартное уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r$.
В данном случае $r^2 = 16$, следовательно, радиус $r = \sqrt{16} = 4$.
Итак, границей является окружность с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом 4.

2. Определение типа линии.
Так как неравенство строгое (<), точки на самой окружности не являются частью решения. Поэтому окружность следует рисовать пунктирной (штриховой) линией.

3. Определение области штриховки.
Неравенство $x^2 + y^2 < 16$ означает, что нас интересуют точки, квадрат расстояния от которых до начала координат меньше 16. Это все точки, лежащие внутри окружности. Для проверки можно взять контрольную точку, например, начало координат $(0, 0)$.
Подставим ее координаты в неравенство: $0^2 + 0^2 < 16$, что упрощается до $0 < 16$. Это верное неравенство. Следовательно, область, содержащая точку $(0, 0)$, является решением.

Ответ: Множество точек — это внутренняя область окружности с центром в начале координат и радиусом 4. Сама окружность изображается пунктирной линией, так как не входит в решение.

9. Какое множество точек задаётся на координатной плоскости неравенством:

a) $x^2 + y^2 - 6x + 8y \le 0$;

б) $x^2 + 10x + y^2 - 2y > 10?

Ответ:

a) б)

а)

Чтобы определить множество точек, задаваемое неравенством $x^2 + y^2 - 6x + 8y \le 0$, необходимо привести его к каноническому виду неравенства, описывающего круг. Для этого используется метод выделения полного квадрата.

Сначала сгруппируем слагаемые, содержащие $x$ и $y$:
$(x^2 - 6x) + (y^2 + 8y) \le 0$

Теперь выделим полный квадрат для каждой из групп. Для этого добавим и вычтем квадрат половины коэффициента при переменной в первой степени.
Для слагаемых с $x$: $x^2 - 6x = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 - 3^2 = (x - 3)^2 - 9$.
Для слагаемых с $y$: $y^2 + 8y = y^2 + 2 \cdot y \cdot 4 + 4^2 - 4^2 = (y + 4)^2 - 16$.

Подставим эти выражения обратно в неравенство:
$((x - 3)^2 - 9) + ((y + 4)^2 - 16) \le 0$

Перенесем свободные члены в правую часть:
$(x - 3)^2 + (y + 4)^2 \le 9 + 16$
$(x - 3)^2 + (y + 4)^2 \le 25$
$(x - 3)^2 + (y - (-4))^2 \le 5^2$

Полученное неравенство описывает все точки, расстояние от которых до точки $C(3, -4)$ не превышает 5. Это множество является кругом, включая его границу (окружность), с центром в точке $(3, -4)$ и радиусом $r=5$.

Ответ: множество точек, представляющее собой круг с центром в точке $(3, -4)$ и радиусом 5, включая его границу.

б)

Рассмотрим неравенство $x^2 + 10x + y^2 - 2y > 10$. Поступим аналогично, выделив полные квадраты для $x$ и $y$.

Сгруппируем слагаемые:
$(x^2 + 10x) + (y^2 - 2y) > 10$

Чтобы выделить полные квадраты, добавим к обеим частям неравенства нужные константы.
Для $x$: $x^2 + 10x = x^2 + 2 \cdot x \cdot 5$. Нужно добавить $5^2 = 25$.
Для $y$: $y^2 - 2y = y^2 - 2 \cdot y \cdot 1$. Нужно добавить $1^2 = 1$.

Добавим 25 и 1 к обеим частям неравенства:
$(x^2 + 10x + 25) + (y^2 - 2y + 1) > 10 + 25 + 1$

Теперь свернем левую часть в полные квадраты:
$(x + 5)^2 + (y - 1)^2 > 36$
$(x - (-5))^2 + (y - 1)^2 > 6^2$

Это неравенство описывает все точки на координатной плоскости, расстояние от которых до точки $C(-5, 1)$ строго больше 6. Это множество представляет собой внешнюю часть круга с центром в точке $(-5, 1)$ и радиусом $r=6$. Поскольку неравенство строгое ($>$), граница (сама окружность) в это множество не включается.

Ответ: множество точек, представляющее собой внешнюю часть круга с центром в точке $(-5, 1)$ и радиусом 6 (граница не включена).