Страница 12, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

12. Установите соответствие между точками, отмеченными на координатной прямой, и числами: $\sqrt{15}$; $\frac{156}{25}$; $(1\frac{3}{4})^2$; $(0,6)^{-1}$.

A B C D

0 1 2 3 4 5 6 7

Ответ:

Для того чтобы установить соответствие между точками и числами, необходимо вычислить или оценить значение каждого числа.

1. Вычислим значение $(0,6)^{-1}$:

$ (0,6)^{-1} = (\frac{6}{10})^{-1} = (\frac{3}{5})^{-1} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,67 $

Это число находится между 1 и 2.

2. Вычислим значение $(1\frac{3}{4})^2$:

$ (1\frac{3}{4})^2 = (\frac{1 \cdot 4 + 3}{4})^2 = (\frac{7}{4})^2 = \frac{7^2}{4^2} = \frac{49}{16} = 3\frac{1}{16} = 3,0625 $

Это число немного больше 3.

3. Оценим значение $\sqrt{15}$:

Мы знаем, что $3^2 = 9$ и $4^2 = 16$. Следовательно, $ \sqrt{9} < \sqrt{15} < \sqrt{16} $, то есть $ 3 < \sqrt{15} < 4 $. Поскольку 15 очень близко к 16, значение $\sqrt{15}$ будет близко к 4 (примерно 3,87).

4. Вычислим значение $\frac{156}{25}$:

$ \frac{156}{25} = \frac{156 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{624}{100} = 6,24 $

Это число находится между 6 и 7.

Теперь расположим числа в порядке возрастания:

$ 1,67 < 3,0625 < 3,87 < 6,24 $

Соответственно:

$ (0,6)^{-1} < (1\frac{3}{4})^2 < \sqrt{15} < \frac{156}{25} $

Точки на координатной прямой A, B, C, D также расположены в порядке возрастания. Сопоставим их с полученным упорядоченным рядом чисел. Несмотря на то что графическое изображение точек B и C (между 2 и 3) неточное, мы будем исходить из их порядка следования.

A

Точка А - самая левая из отмеченных, следовательно, ей соответствует наименьшее число. Наименьшее значение имеет $(0,6)^{-1} \approx 1,67$. Это соответствует положению точки А между 1 и 2.

Ответ: $(0,6)^{-1}$

B

Точка В - вторая слева, ей соответствует второе по величине число. Это $(1\frac{3}{4})^2 = 3,0625$.

Ответ: $(1\frac{3}{4})^2$

C

Точка С - третья слева, ей соответствует третье по величине число. Это $\sqrt{15} \approx 3,87$.

Ответ: $\sqrt{15}$

D

Точка D - самая правая, ей соответствует наибольшее число. Это $\frac{156}{25} = 6,24$. Это соответствует положению точки D между 6 и 7.

Ответ: $\frac{156}{25}$

Заполним таблицу:

13. Число a отмечено точкой на координатной прямой. Расположите в порядке возрастания числа $\frac{1}{a}; a^2; a - 1.$

Ответ: ...........................

Из условия задачи и изображения мы видим, что число a отмечено на координатной прямой в интервале между 0 и 1. Это означает, что $0 < a < 1$.

Чтобы расположить числа $\frac{1}{a}$, $a^2$ и $a-1$ в порядке возрастания, мы можем проанализировать их свойства, исходя из того, что $0 < a < 1$. Для наглядности выберем конкретное значение a из этого интервала, например, $a = 0,5$.

Подставим это значение в каждое из выражений:

• Для выражения $a-1$: $0,5 - 1 = -0,5$
• Для выражения $a^2$: $(0,5)^2 = 0,25$
• Для выражения $\frac{1}{a}$: $\frac{1}{0,5} = 2$

Теперь сравним полученные результаты: $-0,5$, $0,25$ и $2$.

Расположив их в порядке возрастания (от меньшего к большему), получаем: $-0,5 < 0,25 < 2$.

Соответственно, исходные выражения в порядке возрастания будут выглядеть так: $a-1$, $a^2$, $\frac{1}{a}$.

Этот вывод можно подтвердить и общими рассуждениями для любого числа a, где $0 < a < 1$:

• Сравним $a-1$: Так как $a < 1$, то разность $a-1$ всегда будет отрицательной.
• Сравним $a^2$: При возведении в квадрат положительного числа, меньшего 1, результат также будет положительным, но еще меньшим, чем исходное число. То есть $0 < a^2 < a < 1$.
• Сравним $\frac{1}{a}$: Деление 1 на положительное число, меньшее 1, всегда дает результат, больший 1. То есть $\frac{1}{a} > 1$.

Таким образом, мы имеем отрицательное число ($a-1$), положительное число между 0 и 1 ($a^2$) и число, большее 1 ($\frac{1}{a}$). Расположив их в порядке возрастания, получаем ту же последовательность.

Ответ: $a - 1; a^2; \frac{1}{a}$.

14. Сколько целых чисел расположено между числами:

a) $-3\sqrt{2}$ и $\sqrt{38}$

б) $5\sqrt{3}$ и $7\sqrt{10}$

в) $-2\sqrt{3}$ и $-\frac{1}{2}\sqrt{150}$

г) $-\frac{3}{4}\sqrt{48}$ и $\frac{4}{5}\sqrt{125}$

a) $-3\sqrt{2}$ и $\sqrt{38}$

Чтобы найти количество целых чисел между заданными числами, необходимо оценить их значения. Для этого внесем множители под знак корня и сравним получившиеся подкоренные выражения с квадратами целых чисел.

Оценим первое число: $-3\sqrt{2} = -\sqrt{3^2 \cdot 2} = -\sqrt{9 \cdot 2} = -\sqrt{18}$.
Ближайшие квадраты целых чисел к 18 — это $16=4^2$ и $25=5^2$.
Поскольку $16 < 18 < 25$, то $\sqrt{16} < \sqrt{18} < \sqrt{25}$, откуда $4 < \sqrt{18} < 5$.
Следовательно, $-5 < -\sqrt{18} < -4$. Таким образом, число $-3\sqrt{2}$ находится на числовой прямой между -5 и -4.

Оценим второе число: $\sqrt{38}$.
Ближайшие квадраты целых чисел к 38 — это $36=6^2$ и $49=7^2$.
Поскольку $36 < 38 < 49$, то $\sqrt{36} < \sqrt{38} < \sqrt{49}$, откуда $6 < \sqrt{38} < 7$.

Мы ищем целые числа, которые больше $-3\sqrt{2}$ (числа между -5 и -4) и меньше $\sqrt{38}$ (числа между 6 и 7).
Это целые числа: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Чтобы посчитать их количество, можно из наибольшего целого вычесть наименьшее и прибавить 1: $6 - (-4) + 1 = 6 + 4 + 1 = 11$.
Ответ: 11.

б) $5\sqrt{3}$ и $7\sqrt{10}$

Аналогично предыдущему пункту, оценим значения чисел.

Оценим первое число: $5\sqrt{3} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75}$.
Поскольку $8^2 = 64$ и $9^2 = 81$, имеем $64 < 75 < 81$.
Следовательно, $\sqrt{64} < \sqrt{75} < \sqrt{81}$, то есть $8 < 5\sqrt{3} < 9$.

Оценим второе число: $7\sqrt{10} = \sqrt{7^2 \cdot 10} = \sqrt{49 \cdot 10} = \sqrt{490}$.
Найдем ближайшие квадраты: $22^2 = 484$ и $23^2 = 529$.
Поскольку $484 < 490 < 529$, то $\sqrt{484} < \sqrt{490} < \sqrt{529}$, то есть $22 < 7\sqrt{10} < 23$.

Мы ищем целые числа, которые больше $5\sqrt{3}$ (числа между 8 и 9) и меньше $7\sqrt{10}$ (числа между 22 и 23).
Это целые числа от 9 до 22 включительно.
Их количество: $22 - 9 + 1 = 14$.
Ответ: 14.

в) $-2\sqrt{3}$ и $-\frac{1}{2}\sqrt{150}$

Оценим значения отрицательных чисел.

Оценим первое число: $-2\sqrt{3} = -\sqrt{2^2 \cdot 3} = -\sqrt{12}$.
Так как $3^2=9$ и $4^2=16$, то $9 < 12 < 16$.
Отсюда $3 < \sqrt{12} < 4$, и для отрицательных чисел $-4 < -\sqrt{12} < -3$.

Оценим второе число: $-\frac{1}{2}\sqrt{150} = -\sqrt{(\frac{1}{2})^2 \cdot 150} = -\sqrt{\frac{1}{4} \cdot 150} = -\sqrt{37.5}$.
Так как $6^2=36$ и $7^2=49$, то $36 < 37.5 < 49$.
Отсюда $6 < \sqrt{37.5} < 7$, и для отрицательных чисел $-7 < -\sqrt{37.5} < -6$.

Число $-\sqrt{37.5}$ меньше, чем $-\sqrt{12}$, поэтому мы ищем целые числа в интервале $(-\sqrt{37.5}, -\sqrt{12})$.
Это целые числа, которые больше числа, находящегося между -7 и -6, и меньше числа, находящегося между -4 и -3.
Это целые числа: -6, -5, -4.
Всего 3 числа.
Ответ: 3.

г) $-\frac{3}{4}\sqrt{48}$ и $\frac{4}{5}\sqrt{125}$

Оценим значения данных чисел.

Оценим первое число: $-\frac{3}{4}\sqrt{48} = -\sqrt{(\frac{3}{4})^2 \cdot 48} = -\sqrt{\frac{9}{16} \cdot 48} = -\sqrt{9 \cdot \frac{48}{16}} = -\sqrt{9 \cdot 3} = -\sqrt{27}$.
Поскольку $5^2=25$ и $6^2=36$, то $25 < 27 < 36$.
Следовательно, $5 < \sqrt{27} < 6$, и для отрицательного числа $-6 < -\sqrt{27} < -5$.

Оценим второе число: $\frac{4}{5}\sqrt{125} = \sqrt{(\frac{4}{5})^2 \cdot 125} = \sqrt{\frac{16}{25} \cdot 125} = \sqrt{16 \cdot \frac{125}{25}} = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{80}$.
Поскольку $8^2=64$ и $9^2=81$, то $64 < 80 < 81$.
Следовательно, $8 < \sqrt{80} < 9$.

Мы ищем целые числа в интервале $(-\sqrt{27}, \sqrt{80})$.
Это целые числа, которые больше числа, находящегося между -6 и -5, и меньше числа, находящегося между 8 и 9.
Это целые числа от -5 до 8 включительно.
Их количество: $8 - (-5) + 1 = 8 + 5 + 1 = 14$.
Ответ: 14.

10. Произведение двух целых чисел равно -26. Если одно из этих чисел увеличить на 4, а другое уменьшить на 7, их произведение станет равно 12. Найдите эти числа.

Решение.

Пусть искомые целые числа — это $x$ и $y$.

Согласно первому условию задачи, произведение этих чисел равно $-26$. Запишем это в виде уравнения:
$x \cdot y = -26$

Согласно второму условию, если одно из чисел увеличить на 4, а другое уменьшить на 7, то их новое произведение станет равно 12. Составим второе уравнение. Пусть мы увеличиваем $x$ на 4 и уменьшаем $y$ на 7:
$(x + 4)(y - 7) = 12$

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} x \cdot y = -26 \\ (x + 4)(y - 7) = 12 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$ (мы знаем, что $x \neq 0$, так как произведение не равно нулю):
$y = -\frac{26}{x}$

Теперь подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$(x + 4)\left(-\frac{26}{x} - 7\right) = 12$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$x \cdot \left(-\frac{26}{x}\right) + x \cdot (-7) + 4 \cdot \left(-\frac{26}{x}\right) + 4 \cdot (-7) = 12$

$-26 - 7x - \frac{104}{x} - 28 = 12$

Сгруппируем и упростим члены уравнения:

$-7x - \frac{104}{x} - 54 = 12$

$-7x - \frac{104}{x} - 66 = 0$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим все члены уравнения на $x$:

$-7x^2 - 104 - 66x = 0$

Умножим уравнение на $-1$ и запишем его в стандартном виде квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$7x^2 + 66x + 104 = 0$

Для решения этого уравнения найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 66^2 - 4 \cdot 7 \cdot 104 = 4356 - 2912 = 1444$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{1444} = 38$

$x_{1} = \frac{-66 + 38}{2 \cdot 7} = \frac{-28}{14} = -2$

$x_{2} = \frac{-66 - 38}{2 \cdot 7} = \frac{-104}{14} = -\frac{52}{7}$

В условии задачи сказано, что искомые числа — целые. Поэтому корень $x_2 = -\frac{52}{7}$ нам не подходит.

Следовательно, одно из чисел равно $x = -2$.

Найдем второе число $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = -\frac{26}{x}$:

$y = -\frac{26}{-2} = 13$

Итак, мы нашли пару чисел: $-2$ и $13$.

Выполним проверку.
1. Произведение чисел: $-2 \cdot 13 = -26$. (Верно)
2. Увеличим одно число ($ -2 $) на 4, а другое ($13$) уменьшим на 7: $(-2 + 4) \cdot (13 - 7) = 2 \cdot 6 = 12$. (Верно)
Все условия задачи выполнены.

Ответ: $-2$ и $13$.

11. Периметр прямоугольника равен 68 см, а его диагональ равна 26 см. Найдите сторону квадрата, равновеликого этому прямоугольнику.

Решение. ...................

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. Согласно условию, периметр равен 68 см, поэтому мы можем составить первое уравнение:
$2(a+b) = 68$
$a+b = \frac{68}{2}$
$a+b = 34$

Диагональ прямоугольника, его длина и ширина образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора, квадрат диагонали равен сумме квадратов сторон: $d^2 = a^2 + b^2$. По условию, диагональ $d$ равна 26 см. Составим второе уравнение:
$a^2 + b^2 = 26^2$
$a^2 + b^2 = 676$

Теперь у нас есть система уравнений:
$a+b=34$
$a^2+b^2=676$

Для нахождения площади прямоугольника $S_{пр} = a \cdot b$ нам не обязательно находить сами стороны $a$ и $b$. Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Возведем в квадрат первое уравнение системы:
$(a+b)^2 = 34^2$
$a^2 + 2ab + b^2 = 1156$

Теперь подставим в это выражение известное значение $a^2 + b^2$ из второго уравнения системы:
$676 + 2ab = 1156$
$2ab = 1156 - 676$
$2ab = 480$
$ab = \frac{480}{2}$
$ab = 240$

Таким образом, площадь прямоугольника $S_{пр}$ равна 240 см$^2$.

По условию задачи, нужно найти сторону квадрата, равновеликого этому прямоугольнику. "Равновеликий" означает имеющий ту же площадь. Пусть сторона квадрата равна $c$. Тогда площадь квадрата $S_{кв} = c^2$.
$S_{кв} = S_{пр}$
$c^2 = 240$

Чтобы найти сторону квадрата, извлечем квадратный корень из площади:
$c = \sqrt{240}$
Для упрощения корня разложим 240 на множители: $240 = 16 \cdot 15$.
$c = \sqrt{16 \cdot 15} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{15} = 4\sqrt{15}$

Ответ: $4\sqrt{15}$ см.