Страница 10, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

5. Расположите в порядке возрастания числа:

$-1 \frac{2}{7}$; -1,3; 1,23; $1 \frac{1}{9}$; -1,15.

Ответ:

.............................

Чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, необходимо их сравнить. Для удобства сравнения представим все числа в виде десятичных дробей.

Данные числа: $-1\frac{2}{7}$; $-1,3$; $1,23$; $1\frac{1}{9}$; $-1,15$.

1. Преобразование в десятичные дроби.

Преобразуем смешанные дроби в десятичные:

• $-1\frac{2}{7} = -(1 + \frac{2}{7})$. Вычислим $\frac{2}{7} \approx 0,2857$. Таким образом, $-1\frac{2}{7} \approx -1,2857$.

• $1\frac{1}{9} = 1 + \frac{1}{9}$. Вычислим $\frac{1}{9} = 0,111...$ или $0,(1)$. Таким образом, $1\frac{1}{9} = 1,(1)$.

Теперь наш набор чисел выглядит так: $-1,2857...$; $-1,3$; $1,23$; $1,(1)$; $-1,15$.

2. Сравнение отрицательных чисел.

У нас есть три отрицательных числа: $-1\frac{2}{7} \approx -1,2857$; $-1,3$; $-1,15$.

При сравнении отрицательных чисел меньшим является то, чей модуль (абсолютная величина) больше.

Сравним их модули:

$|-1,3| = 1,3$

$|-1\frac{2}{7}| \approx 1,2857$

$|-1,15| = 1,15$

Расположим модули в порядке возрастания: $1,15 < 1,2857 < 1,3$.

Следовательно, сами отрицательные числа в порядке возрастания будут располагаться в обратном порядке: $-1,3 < -1\frac{2}{7} < -1,15$.

3. Сравнение положительных чисел.

У нас есть два положительных числа: $1,23$ и $1\frac{1}{9} = 1,(1) \approx 1,111...$.

Сравнивая десятичные представления, видим, что $1,111... < 1,23$.

Значит, $1\frac{1}{9} < 1,23$.

4. Формирование итогового ряда.

Теперь объединим отсортированные группы отрицательных и положительных чисел. Любое отрицательное число меньше любого положительного. В порядке возрастания сначала идут отрицательные числа, а затем положительные.

Итоговый ряд: $-1,3$; $-1\frac{2}{7}$; $-1,15$; $1\frac{1}{9}$; $1,23$.

Ответ: $-1,3; -1\frac{2}{7}; -1,15; 1\frac{1}{9}; 1,23$.

6. Расположите в порядке убывания числа:

$-3,875$; $-2,73...$; $-1,(31)$; $-1\frac{1}{3}$.

Ответ:

Чтобы расположить данные числа в порядке убывания, необходимо привести их к одному виду, например, к десятичным дробям, а затем сравнить их.

1. Преобразование чисел в десятичный вид

Рассмотрим каждое число:

1. $-3,875$ — это конечная десятичная дробь.

2. $-2,73...$ — это бесконечная десятичная дробь.

3. $-1,(31)$ — это бесконечная периодическая десятичная дробь, которая записывается как $-1,313131...$

4. $-1\frac{1}{3}$ — это смешанное число. Чтобы перевести его в десятичную дробь, преобразуем дробную часть: $\frac{1}{3} = 1 \div 3 = 0,333... = 0,(3)$.
Таким образом, $-1\frac{1}{3} = -1,(3) = -1,333...$

2. Сравнение полученных десятичных дробей

Теперь у нас есть следующий набор чисел для сравнения:

$-3,875$; $-2,73...$; $-1,3131...$; $-1,333...$

Расположить числа в порядке убывания — значит расположить их от самого большого к самому маленькому. При сравнении отрицательных чисел большим является то число, модуль которого меньше.

Сравним модули этих чисел:

$|-3,875| = 3,875$
$|-2,73...| = 2,73...$
$|-1,(31)| = |-1,3131...| = 1,3131...$
$|-1\frac{1}{3}| = |-1,333...| = 1,333...$

Теперь расположим модули в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему):

$1,3131... < 1,333... < 2,73... < 3,875$

Так как исходные числа отрицательные, то порядок их расположения будет обратным порядку возрастания их модулей:

$-1,3131... > -1,333... > -2,73... > -3,875$

3. Запись результата в исходном виде

Заменив десятичные дроби на их исходные представления, получим итоговый ряд в порядке убывания:

$-1,(31)$; $-1\frac{1}{3}$; $-2,73...$; $-3,875$.

Ответ: $-1,(31)$; $-1\frac{1}{3}$; $-2,73...$; $-3,875$.

7. Сравните числа (ответ запишите в виде равенства или неравенства):

а) 0,0201 и 0,021

б) -5,71 и -5,79

в) $ \frac{13}{16} $ и 0,8125

г) -3,82 и $ -3\frac{7}{25} $

д) $ \frac{17}{18} $ и $ \frac{18}{19} $

е) -4,133 и 4,013

ж) 7,375 и $ 7\frac{3}{8} $

з) $ \frac{62}{61} $ и 0,99

а) Чтобы сравнить десятичные дроби $0,0201$ и $0,021$, мы можем уравнять количество знаков после запятой, добавив ноль в конец второго числа: $0,021 = 0,0210$. Теперь сравним $0,0201$ и $0,0210$ поразрядно слева направо. Целые части, десятые и сотые доли у них одинаковы. В разряде тысячных у первого числа стоит цифра 0, а у второго — 1. Так как $0 < 1$, то и $0,0201 < 0,0210$.
Ответ: $0,0201 < 0,021$.

б) При сравнении отрицательных чисел большим является то, модуль которого меньше. Сравним модули данных чисел: $|-5,71| = 5,71$ и $|-5,79| = 5,79$. Так как $5,71 < 5,79$, то исходное число $-5,71$ будет больше, чем $-5,79$.
Ответ: $-5,71 > -5,79$.

в) Чтобы сравнить обыкновенную дробь и десятичную, приведем дробь $\frac{13}{16}$ к десятичному виду. Для этого разделим числитель на знаменатель:
$13 \div 16 = 0,8125$.
Таким образом, мы сравниваем $0,8125$ и $0,8125$. Эти числа равны.
Ответ: $\frac{13}{16} = 0,8125$.

г) Для сравнения чисел $-3,82$ и $-3\frac{7}{25}$ сначала приведем смешанную дробь к десятичному виду. Дробная часть $\frac{7}{25}$ равна $\frac{7 \times 4}{25 \times 4} = \frac{28}{100} = 0,28$. Значит, $-3\frac{7}{25} = -3,28$.
Теперь сравним отрицательные числа $-3,82$ и $-3,28$. Сравним их модули: $3,82$ и $3,28$. Так как $3,82 > 3,28$, то для отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный: $-3,82 < -3,28$.
Ответ: $-3,82 < -3\frac{7}{25}$.

д) Сравним дроби $\frac{17}{18}$ и $\frac{18}{19}$. Один из способов — дополнить их до 1.
$1 - \frac{17}{18} = \frac{1}{18}$.
$1 - \frac{18}{19} = \frac{1}{19}$.
Теперь сравним дроби $\frac{1}{18}$ и $\frac{1}{19}$. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $18 < 19$, то $\frac{1}{18} > \frac{1}{19}$. Это означает, что от 1 до $\frac{17}{18}$ расстояние больше, чем от 1 до $\frac{18}{19}$, следовательно, $\frac{17}{18}$ меньше.
Ответ: $\frac{17}{18} < \frac{18}{19}$.

е) Сравниваются отрицательное число $-4,133$ и положительное число $4,013$. Любое отрицательное число всегда меньше любого положительного числа.
Ответ: $-4,133 < 4,013$.

ж) Чтобы сравнить $7,375$ и $7\frac{3}{8}$, переведем дробную часть смешанного числа в десятичную дробь.
$\frac{3}{8} = 3 \div 8 = 0,375$.
Следовательно, $7\frac{3}{8} = 7 + 0,375 = 7,375$.
Сравниваемые числа равны.
Ответ: $7,375 = 7\frac{3}{8}$.

з) Сравним $\frac{62}{61}$ и $0,99$. Дробь $\frac{62}{61}$ является неправильной, так как ее числитель больше знаменателя, значит, ее значение больше 1. В виде смешанного числа это $1\frac{1}{61}$. Число $0,99$ меньше 1. Любое число, которое больше 1, больше любого числа, которое меньше 1.
Ответ: $\frac{62}{61} > 0,99$.

8. Какие целые числа расположены между числами:

а) $-3,71...$ и $4,235...$

б) $-7,523...$ и $-2,352...$

в) $-6,01$ и $-3,808$

г) $-1,985$ и $0,893$

а) -3,71... и 4,235...

Чтобы найти целые числа, расположенные между $-3,71...$ и $4,235...$, нам нужно определить все целые числа $z$, для которых выполняется двойное неравенство: $-3,71... < z < 4,235...$.

Слева от нуля на числовой прямой, первое целое число, которое больше (правее) чем $-3,71...$, это $-3$. Затем следуют $-2$ и $-1$.

Справа от нуля, целые числа, которые меньше (левее) чем $4,235...$, это $4, 3, 2, 1, 0$.

Объединив все эти числа, получим искомый ряд.

Ответ: $-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4$.

б) -7,523... и -2,352...

Ищем все целые числа $z$, удовлетворяющие неравенству $-7,523... < z < -2,352...$.

На числовой прямой все числа находятся левее нуля. Первое целое число, которое больше (расположено правее) чем $-7,523...$, это $-7$.

Последнее целое число, которое меньше (расположено левее) чем $-2,352...$, это $-3$.

Следовательно, нам нужно перечислить все целые числа от $-7$ до $-3$ включительно.

Ответ: $-7, -6, -5, -4, -3$.

в) -6,01 и -3,808

Нам нужно найти все целые числа $z$, для которых верно неравенство $-6,01 < z < -3,808$.

Первое целое число, которое больше (правее) чем $-6,01$, это $-6$.

Последнее целое число, которое меньше (левее) чем $-3,808$, это $-4$.

Таким образом, искомыми целыми числами являются все целые от $-6$ до $-4$ включительно.

Ответ: $-6, -5, -4$.

г) -1,985 и 0,893

Ищем все целые числа $z$, которые находятся в интервале $(-1,985; 0,893)$, то есть удовлетворяют неравенству $-1,985 < z < 0,893$.

Первое целое число, большее $-1,985$, это $-1$.

Следующее целое число - это $0$. Число $0$ меньше, чем $0,893$.

Следующее целое число $1$ уже больше, чем $0,893$, поэтому оно не входит в искомый диапазон.

Ответ: $-1, 0$.

7. Из пункта M в пункт N, удалённый на расстояние 48 км, выехали одновременно два велосипедиста. Через 2 ч оказалось, что первый велосипедист проехал на 6 км больше, чем второй. Найдите скорость каждого велосипедиста, если известно, что на весь путь первый велосипедист затратил на 32 мин меньше, чем второй.

Заполните пропуски и закончите решение задачи.

Решение. Пусть скорость первого велосипедиста $x$ км/ч, а второго — $y$ км/ч. Тогда за 2 ч первый велосипедист проехал $2x$ км, а второй — $2y$ км. Первый велосипедист проехал на 6 км больше, следовательно, $2x - 2y = 6$ (1)

Первый велосипедист затратил на весь путь $\frac{48}{x}$ ч, а второй — $\frac{48}{y}$ ч, при этом первое время на 32 мин, т. е. на $\frac{8}{15}$ ч, меньше второго, следовательно, $\frac{48}{x} = \frac{48}{y} - \frac{8}{15}$ (2)

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её:

Решение. Пусть скорость первого велосипедиста $x$ км/ч, а второго — $y$ км/ч. Тогда за 2 ч первый велосипедист проехал $2x$ км, а второй — $2y$ км. Первый велосипедист проехал на 6 км больше, следовательно, $2x - 2y = 6$, что эквивалентно $x - y = 3$ (1).

Первый велосипедист затратил на весь путь $\frac{48}{x}$ ч, а второй — $\frac{48}{y}$ ч, при этом первое время на 32 мин, т. е. на $\frac{32}{60} = \frac{8}{15}$ ч, меньше второго, следовательно, $\frac{48}{y} - \frac{48}{x} = \frac{8}{15}$ (2).

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её:

$$ \begin{cases} x - y = 3, \\ \frac{48}{y} - \frac{48}{x} = \frac{8}{15} \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $x$: $x = y + 3$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$$ \frac{48}{y} - \frac{48}{y+3} = \frac{8}{15} $$

Разделим обе части уравнения на 8 для упрощения:

$$ \frac{6}{y} - \frac{6}{y+3} = \frac{1}{15} $$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $y(y+3)$:

$$ \frac{6(y+3) - 6y}{y(y+3)} = \frac{1}{15} $$

$$ \frac{6y + 18 - 6y}{y^2 + 3y} = \frac{1}{15} $$

$$ \frac{18}{y^2 + 3y} = \frac{1}{15} $$

По свойству пропорции (умножая крест-накрест), получим:

$$ y^2 + 3y = 18 \cdot 15 $$

$$ y^2 + 3y = 270 $$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$$ y^2 + 3y - 270 = 0 $$

Решим это уравнение. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-270) = 9 + 1080 = 1089$

Так как $\sqrt{1089} = 33$, найдем корни уравнения:

$y_1 = \frac{-3 + 33}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$y_2 = \frac{-3 - 33}{2} = \frac{-36}{2} = -18$

Поскольку скорость ($y$) не может быть отрицательной величиной, корень $y_2 = -18$ не является решением задачи. Следовательно, скорость второго велосипедиста $y = 15$ км/ч.

Теперь найдем скорость первого велосипедиста, используя уравнение $x = y + 3$:

$x = 15 + 3 = 18$

Скорость первого велосипедиста $x = 18$ км/ч.

Ответ: скорость первого велосипедиста — 18 км/ч, скорость второго велосипедиста — 15 км/ч.