Страница 6, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

8. Найдите значение выражения при $a = 1, b = 0,36:$

а) $\sqrt{a - b}$; б) $\sqrt{a} - \sqrt{b}$.

Сравните найденные значения. Сделайте вывод.

а) Если $a = 1, b = 0,36$, то $\sqrt{a - b} = \ldots$;

б) Если $a = 1, b = 0,36$, то $\sqrt{a} - \sqrt{b} = \ldots$

Вывод: \ldots

а) Подставим заданные значения $a=1$ и $b=0,36$ в выражение $\sqrt{a-b}$:
$\sqrt{a-b} = \sqrt{1-0,36} = \sqrt{0,64}$
Так как $0,8^2 = 0,64$, то $\sqrt{0,64} = 0,8$.
Ответ: 0,8.

б) Подставим заданные значения $a=1$ и $b=0,36$ в выражение $\sqrt{a}-\sqrt{b}$:
$\sqrt{a}-\sqrt{b} = \sqrt{1}-\sqrt{0,36}$
Вычислим значения корней: $\sqrt{1} = 1$ и $\sqrt{0,36} = 0,6$.
Теперь выполним вычитание: $1 - 0,6 = 0,4$.
Ответ: 0,4.

Вывод: Сравним полученные результаты: значение выражения $\sqrt{a-b}$ равно $0,8$, а значение выражения $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ равно $0,4$.
Поскольку $0,8 > 0,4$, то для данных значений переменных справедливо неравенство $\sqrt{a-b} > \sqrt{a}-\sqrt{b}$.
Это иллюстрирует, что корень из разности двух неотрицательных чисел не равен разности корней из этих чисел. В общем случае $\sqrt{a-b} \ne \sqrt{a}-\sqrt{b}$ (для $a \ge b \ge 0$).

9. Среди чисел $-6$; $\sqrt{11}$; $0$; $7,38$; $12$; $-\frac{2}{9}$; $-163$; $\frac{15}{23}$; $-5,1(23)$; $\pi$ найдите:

а) натуральные числа

б) целые отрицательные числа

в) целые неотрицательные числа

г) рациональные числа

д) иррациональные числа

е) действительные числа

Проанализируем каждое число из данного набора: $-6; \sqrt{11}; 0; 7,38; 12; -\frac{2}{9}; -163; \frac{15}{23}; -5,1(23); \pi$.

а) натуральные числа

Натуральные числа — это числа, используемые для счета предметов: $1, 2, 3, \dots$. Это целые положительные числа. Из представленного списка только одно число удовлетворяет этому определению.
Это число 12.
Ответ: 12.

б) целые отрицательные числа

Целые числа — это натуральные числа, им противоположные и ноль: $\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots$. Целые отрицательные числа — это целые числа, которые меньше нуля. В данном наборе такими числами являются -6 и -163.
Ответ: -6; -163.

в) целые неотрицательные числа

Целые неотрицательные числа — это целые числа, которые больше или равны нулю. Это ноль и все натуральные числа. Из списка к ним относятся 0 и 12.
Ответ: 0; 12.

г) рациональные числа

Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число ($q \neq 0$). К рациональным числам относятся все целые числа, конечные десятичные дроби и бесконечные периодические десятичные дроби.
Из списка выберем рациональные числа:
-6 (целое число, $-6 = \frac{-6}{1}$)
0 (целое число, $0 = \frac{0}{1}$)
7,38 (конечная десятичная дробь, $7,38 = \frac{738}{100}$)
12 (целое число, $12 = \frac{12}{1}$)
$-\frac{2}{9}$ (обыкновенная дробь)
-163 (целое число, $-163 = \frac{-163}{1}$)
$\frac{15}{23}$ (обыкновенная дробь)
-5,1(23) (бесконечная периодическая десятичная дробь).
Ответ: -6; 0; 7,38; 12; $-\frac{2}{9}$; -163; $\frac{15}{23}$; -5,1(23).

д) иррациональные числа

Иррациональные числа — это числа, которые не могут быть представлены в виде дроби $\frac{p}{q}$. Они представляются в виде бесконечных непериодических десятичных дробей.
Из данного набора к иррациональным числам относятся:
$\sqrt{11}$ (корень из числа, не являющегося полным квадратом)
$\pi$ (число пи — математическая константа).
Ответ: $\sqrt{11}$; $\pi$.

е) действительные числа

Действительные (или вещественные) числа — это объединение множества рациональных и множества иррациональных чисел. Следовательно, все числа, представленные в задании, являются действительными.
Ответ: -6; $\sqrt{11}$; 0; 7,38; 12; $-\frac{2}{9}$; -163; $\frac{15}{23}$; -5,1(23); $\pi$.

10. Около каждого утверждения напишите, верное оно или неверное:

а) число 3,5 не является целым ..............................;

б) число 71,8 является рациональным .........................;

в) число -27 не является натуральным ......................;

г) число 51 является целым ........................;

д) число $-\sqrt{7}$ является действительным .....................

а) число 3,5 не является целым
Целые числа — это множество чисел, которое включает натуральные числа (1, 2, 3, ...), противоположные им числа (-1, -2, -3, ...) и ноль. У целых чисел отсутствует дробная часть. Число 3,5 имеет дробную часть, равную 0,5, поэтому оно не является целым числом. Таким образом, утверждение является верным.
Ответ: верное.

б) число 71,8 является рациональным
Рациональным называется число, которое можно представить в виде дроби $m/n$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число. Любую конечную десятичную дробь можно представить в таком виде. Число 71,8 можно записать как дробь $718/10$ (или после сокращения $359/5$). Так как число 71,8 представимо в виде дроби, оно является рациональным. Утверждение является верным.
Ответ: верное.

в) число –27 не является натуральным
Натуральные числа — это числа, которые используются при счёте предметов: 1, 2, 3, и так далее. Это множество положительных целых чисел. Число –27 является отрицательным целым числом и не принадлежит множеству натуральных чисел. Следовательно, утверждение является верным.
Ответ: верное.

г) число 51 является целым
Как указано в пункте а), целые числа включают в себя все натуральные числа. Число 51 является натуральным числом, так как используется при счёте. Поскольку все натуральные числа являются целыми, число 51 также является целым. Утверждение является верным.
Ответ: верное.

д) число $-\sqrt{7}$ является действительным
Действительные (или вещественные) числа — это множество, которое включает в себя все рациональные и иррациональные числа. Иррациональное число — это число, которое не может быть представлено в виде дроби $m/n$. Корень квадратный из числа, не являющегося точным квадратом, является иррациональным числом. Так как 7 не является точным квадратом целого числа, $\sqrt{7}$ — иррациональное число. Соответственно, $-\sqrt{7}$ также является иррациональным числом. Множество действительных чисел включает в себя все иррациональные числа. Следовательно, $-\sqrt{7}$ является действительным числом. Утверждение является верным.
Ответ: верное.

5. Дана система уравнений $ \begin{cases} kx - 2y = 10, \\ 3x - 4y = 5. \end{cases} $

Подберите такое число k, чтобы система имела единственное решение.

Ответ: $k = $

Для того чтобы система двух линейных уравнений с двумя переменными имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при переменных $x$ и $y$ не были пропорциональны.

Рассмотрим общую систему: $ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $ Условие единственности решения для такой системы записывается в виде неравенства: $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $ Геометрически это означает, что прямые, являющиеся графиками уравнений, имеют разные угловые коэффициенты и, следовательно, пересекаются в одной точке.

Применим это правило к данной системе уравнений: $ \begin{cases} kx - 2y = 10 \\ 3x - 4y = 5 \end{cases} $ В этой системе коэффициенты равны: $a_1 = k$, $b_1 = -2$, $a_2 = 3$ и $b_2 = -4$.

Подставим эти значения в условие единственности решения: $ \frac{k}{3} \neq \frac{-2}{-4} $

Упростим дробь в правой части неравенства: $ \frac{-2}{-4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $

Теперь неравенство выглядит так: $ \frac{k}{3} \neq \frac{1}{2} $

Чтобы найти $k$, умножим обе части неравенства на 3: $ k \neq 3 \cdot \frac{1}{2} $ $ k \neq \frac{3}{2} $ $ k \neq 1.5 $

Таким образом, система будет иметь единственное решение при любом значении $k$, кроме $k = 1.5$. Если $k = 1.5$, то прямые будут параллельны, и система не будет иметь решений, так как отношение свободных членов ($\frac{10}{5} = 2$) не будет равно отношению коэффициентов при переменных ($\frac{1.5}{3} = \frac{1}{2}$).

Ответ: $k \neq 1.5$

6. Дана система уравнений $ \begin{cases} 5x - 2y = 7, \\ kx + 6y = m. \end{cases} $

Подберите такие значения k и m, при которых система:

а) имеет одно решение ............................

б) имеет бесконечно много решений ....................

в) не имеет решений ....................

Ответ: а) ..................... б) ..................... в) .....................

Данная система линейных уравнений имеет вид:
$5x - 2y = 7$
$kx + 6y = m$

Для анализа количества решений системы вида $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$ удобно использовать соотношения коэффициентов. В нашем случае: $a_1 = 5$, $b_1 = -2$, $c_1 = 7$
$a_2 = k$, $b_2 = 6$, $c_2 = m$

Система имеет единственное решение, если прямые, описываемые уравнениями, пересекаются в одной точке. Это происходит, когда их угловые коэффициенты различны, что эквивалентно условию непропорциональности коэффициентов при переменных $x$ и $y$:
$\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}$
Подставим наши значения:
$\frac{5}{k} \ne \frac{-2}{6}$
Упростим правую часть:
$\frac{5}{k} \ne -\frac{1}{3}$
Из этого соотношения, используя правило пропорции, находим, при каком значении $k$ равенство бы выполнялось: $5 \cdot 3 = -1 \cdot k \implies 15 = -k \implies k = -15$.
Следовательно, чтобы система имела одно решение, необходимо, чтобы $k \ne -15$. Значение $m$ при этом может быть любым действительным числом.

Ответ: $k \ne -15$, $m$ — любое число.

Система имеет бесконечно много решений, если прямые совпадают. Это происходит, когда коэффициенты при переменных и свободные члены пропорциональны:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$
Подставим наши значения:
$\frac{5}{k} = \frac{-2}{6} = \frac{7}{m}$
Это можно разбить на два уравнения:
1) $\frac{5}{k} = \frac{-2}{6} \implies \frac{5}{k} = -\frac{1}{3} \implies k = -15$.
2) $\frac{-2}{6} = \frac{7}{m} \implies -\frac{1}{3} = \frac{7}{m} \implies -m = 21 \implies m = -21$.
Таким образом, система имеет бесконечно много решений только при $k = -15$ и $m = -21$.

Ответ: $k = -15$, $m = -21$.

Система не имеет решений, если прямые параллельны, но не совпадают. Это происходит, когда коэффициенты при переменных пропорциональны, а свободные члены — нет:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2}$
Подставим наши значения:
$\frac{5}{k} = \frac{-2}{6} \ne \frac{7}{m}$
Из первой части равенства $\frac{5}{k} = \frac{-2}{6}$ мы уже знаем, что $k = -15$.
Из второй части, неравенства $\frac{-2}{6} \ne \frac{7}{m}$, мы получаем, что $m$ не должно быть равно $-21$ (как в пункте б).
$-\frac{1}{3} \ne \frac{7}{m} \implies -m \ne 21 \implies m \ne -21$.
Следовательно, система не будет иметь решений при $k = -15$ и любом значении $m$, не равном $-21$.

Ответ: $k = -15$, $m \ne -21$.

7. Докажите, что система уравнений $\begin{cases}x - 3y = 6 \\1,5y = 0,5x + 6\end{cases}$ не имеет решений:

x

y

x

y

y

1

0

1

x

а) используя алгебраические преобразования;

Для доказательства того, что система не имеет решений, преобразуем уравнения и используем метод подстановки. Исходная система уравнений: $$ \begin{cases} x - 3y = 6 \\ 1.5y = 0.5x + 6 \end{cases} $$ Сначала преобразуем второе уравнение, умножив обе его части на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей: $2 \cdot (1.5y) = 2 \cdot (0.5x + 6)$ $3y = x + 12$ Теперь выразим переменную $x$ из первого уравнения системы: $x = 3y + 6$ Подставим полученное выражение для $x$ в преобразованное второе уравнение $3y = x + 12$: $3y = (3y + 6) + 12$ $3y = 3y + 18$ Вычтем $3y$ из обеих частей уравнения: $0 = 18$ Мы получили неверное числовое равенство. Это противоречие означает, что не существует таких значений $x$ и $y$, которые бы удовлетворяли обоим уравнениям одновременно.

Ответ: Так как в результате алгебраических преобразований мы пришли к неверному равенству $0 = 18$, система уравнений не имеет решений.

б) с помощью графиков.

Чтобы доказать отсутствие решений графическим методом, нужно построить графики обоих уравнений и показать, что они не пересекаются. Для этого представим каждое уравнение в виде линейной функции $y = kx + b$.

Первое уравнение: $x - 3y = 6$. Выразим $y$ через $x$: $-3y = -x + 6$ $y = \frac{-x}{-3} + \frac{6}{-3}$ $y = \frac{1}{3}x - 2$ Это уравнение прямой с угловым коэффициентом $k = \frac{1}{3}$ и точкой пересечения с осью $y$ в $(0, -2)$. Найдем две точки для построения графика, заполнив таблицу:

Второе уравнение: $1.5y = 0.5x + 6$. Выразим $y$ через $x$: Умножим обе части на 2: $3y = x + 12$ Разделим на 3: $y = \frac{1}{3}x + 4$ Это уравнение прямой с угловым коэффициентом $k = \frac{1}{3}$ и точкой пересечения с осью $y$ в $(0, 4)$. Найдем две точки для построения графика, заполнив таблицу:

Сравнивая два уравнения $y = \frac{1}{3}x - 2$ и $y = \frac{1}{3}x + 4$, мы видим, что угловые коэффициенты у них одинаковы ($k_1 = k_2 = \frac{1}{3}$), а свободные члены (ординаты точек пересечения с осью $y$) различны ($b_1 = -2$, $b_2 = 4$). Это означает, что графики данных функций — две параллельные прямые. На координатной плоскости эти прямые не будут пересекаться.

Ответ: Графики уравнений системы являются параллельными прямыми, которые не пересекаются, следовательно, система не имеет решений.