Страница 8, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

14. Известно, что $x$ и $y$ — целые числа. Значения каких из выражений: $x+y$, $x-y$, $x \cdot y$, $\frac{x}{y}$ $(y \neq 0)$ также являются целыми числами? Если условие не выполняется, то приведите пример.

Проанализируем каждое выражение, учитывая, что $x$ и $y$ — целые числа.

$x+y$

Сумма двух целых чисел всегда является целым числом. Это одно из основных свойств множества целых чисел (замкнутость относительно сложения). Например, если $x=3$ и $y=5$, то $x+y=8$, что является целым числом. Если $x=-7$ и $y=2$, то $x+y=-5$, что также является целым числом.

Ответ: всегда является целым числом.

$x-y$

Разность двух целых чисел всегда является целым числом. Множество целых чисел замкнуто относительно вычитания. Например, если $x=10$ и $y=3$, то $x-y=7$, что является целым числом. Если $x=4$ и $y=11$, то $x-y=-7$, что также является целым числом.

Ответ: всегда является целым числом.

$x \cdot y$

Произведение двух целых чисел всегда является целым числом. Множество целых чисел замкнуто относительно умножения. Например, если $x=5$ и $y=4$, то $x \cdot y=20$, что является целым числом. Если $x=-6$ и $y=3$, то $x \cdot y=-18$, что также является целым числом.

Ответ: всегда является целым числом.

$\frac{x}{y} \ (y \neq 0)$

Частное двух целых чисел не всегда является целым числом. Это происходит только в том случае, если делимое $x$ нацело делится на делитель $y$. Если это условие не выполняется, результат будет дробным (рациональным) числом.

Пример: пусть $x=3$ и $y=2$. Оба числа являются целыми, и $y \neq 0$. Однако, их частное $\frac{x}{y} = \frac{3}{2} = 1.5$, что не является целым числом.

Ответ: не всегда является целым числом.

15. Выясните, каким числом (рациональным или иррациональным) является значение выражения:

а) $ \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{75}} $ .......................;

б) $ (\sqrt{45} - \sqrt{180}) \cdot \sqrt{15} $ .......................;

в) $ (\sqrt{7} + 2)^2 + (2 - \sqrt{7})^2 $ .......................;

г) $ (\sqrt{17} + \sqrt{3})^2 $ .......................

Ответ: а) .......................

б) .......................

в) .......................

г) .......................

а) $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{75}}$

Чтобы определить, является ли значение выражения рациональным или иррациональным, упростим его. Воспользуемся свойством частного корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$:

$\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{75}} = \sqrt{\frac{27}{75}}$

Сократим дробь под знаком корня. И числитель, и знаменатель делятся на 3:

$\frac{27}{75} = \frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 25} = \frac{9}{25}$

Теперь извлечем корень:

$\sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}} = \frac{3}{5}$

Результат $\frac{3}{5}$ является обыкновенной дробью, то есть отношением двух целых чисел. Следовательно, это рациональное число.

Ответ: рациональным

б) $(\sqrt{45} - \sqrt{180}) \cdot \sqrt{15}$

Сначала упростим выражения под корнями в скобках, вынеся множители:

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$

$\sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$

Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$(3\sqrt{5} - 6\sqrt{5}) \cdot \sqrt{15}$

Выполним вычитание в скобках:

$-3\sqrt{5} \cdot \sqrt{15}$

Перемножим корни, используя свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$:

$-3\sqrt{5 \cdot 15} = -3\sqrt{75}$

Упростим полученный корень:

$-3\sqrt{75} = -3\sqrt{25 \cdot 3} = -3 \cdot 5\sqrt{3} = -15\sqrt{3}$

Поскольку $\sqrt{3}$ — иррациональное число, то и произведение $-15\sqrt{3}$ является иррациональным числом.

Ответ: иррациональным

в) $(\sqrt{7} + 2)^2 + (2 - \sqrt{7})^2$

Для раскрытия скобок применим формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Раскроем первую скобку:

$(\sqrt{7} + 2)^2 = (\sqrt{7})^2 + 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 2 + 2^2 = 7 + 4\sqrt{7} + 4 = 11 + 4\sqrt{7}$

Раскроем вторую скобку:

$(2 - \sqrt{7})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = 4 - 4\sqrt{7} + 7 = 11 - 4\sqrt{7}$

Теперь сложим полученные результаты:

$(11 + 4\sqrt{7}) + (11 - 4\sqrt{7}) = 11 + 11 + 4\sqrt{7} - 4\sqrt{7} = 22$

Результат 22 — это целое число, которое является рациональным.

Ответ: рациональным

г) $(\sqrt{17} + \sqrt{3})^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(\sqrt{17} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{17})^2 + 2 \cdot \sqrt{17} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2$

Выполним вычисления:

$17 + 2\sqrt{17 \cdot 3} + 3 = 17 + 2\sqrt{51} + 3$

Сложим рациональные части:

$20 + 2\sqrt{51}$

Число 51 не является полным квадратом, поэтому $\sqrt{51}$ — иррациональное число. Сумма рационального числа (20) и иррационального ($2\sqrt{51}$) также является иррациональным числом.

Ответ: иррациональным

16. Докажите, что значение выражения является рациональным числом:

a) $\frac{\sqrt{12} + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - \sqrt{12}}$ ...

б) $\sqrt{(5 + 2\sqrt{6})^2} - \sqrt{(4 - 2\sqrt{6})^2}$ ...

a) Чтобы доказать, что значение выражения $\frac{\sqrt{12} + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - \sqrt{12}}$ является рациональным числом, необходимо его упростить. Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное.
1. Упростим корень из 12, вынеся множитель из-под знака корня:
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$
2. Подставим полученное значение в исходное выражение:
$\frac{2\sqrt{3} + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - 2\sqrt{3}}$
3. Выполним действия в числителе и знаменателе:
$\frac{(2+1)\sqrt{3}}{(1-2)\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{-1\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{-\sqrt{3}}$
4. Сократим дробь на $\sqrt{3}$:
$\frac{3}{-1} = -3$
Полученное число -3 является целым, а любое целое число является рациональным, так как его можно представить в виде дроби (например, $\frac{-3}{1}$). Таким образом, значение выражения является рациональным числом.
Ответ: -3.

б) Чтобы доказать, что значение выражения $\sqrt{(5 + 2\sqrt{6})^2} - \sqrt{(4 - 2\sqrt{6})^2}$ является рациональным числом, воспользуемся тождеством $\sqrt{a^2} = |a|$.
1. Применим тождество к нашему выражению:
$\sqrt{(5 + 2\sqrt{6})^2} - \sqrt{(4 - 2\sqrt{6})^2} = |5 + 2\sqrt{6}| - |4 - 2\sqrt{6}|$
2. Раскроем модули. Для этого определим знаки подмодульных выражений.
- Выражение $5 + 2\sqrt{6}$ очевидно положительно, так как является суммой двух положительных чисел. Значит, $|5 + 2\sqrt{6}| = 5 + 2\sqrt{6}$.
- Чтобы определить знак выражения $4 - 2\sqrt{6}$, сравним числа 4 и $2\sqrt{6}$. Сделать это можно, сравнив их квадраты:
$4^2 = 16$
$(2\sqrt{6})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{6})^2 = 4 \cdot 6 = 24$
Поскольку $16 < 24$, то $4 < 2\sqrt{6}$, следовательно, разность $4 - 2\sqrt{6}$ отрицательна.
Значит, $|4 - 2\sqrt{6}| = -(4 - 2\sqrt{6}) = -4 + 2\sqrt{6} = 2\sqrt{6} - 4$.
3. Подставим раскрытые модули в выражение:
$(5 + 2\sqrt{6}) - (2\sqrt{6} - 4)$
4. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$5 + 2\sqrt{6} - 2\sqrt{6} + 4 = (5 + 4) + (2\sqrt{6} - 2\sqrt{6}) = 9$
Полученное число 9 является целым, а значит, и рациональным числом (можно представить как $\frac{9}{1}$). Таким образом, значение выражения является рациональным числом.
Ответ: 9.

2. Одно число на 12 больше другого, а их произведение равно -27. Найдите эти числа. Сколько решений имеет задача?

Решение.

Ответ:

Пусть одно из чисел равно $x$. Так как второе число на 12 больше, его можно выразить как $x + 12$.

Согласно условию, произведение этих чисел равно -27. На основе этого составим и решим уравнение:

$x \cdot (x + 12) = -27$

Для решения раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 12x = -27$

$x^2 + 12x + 27 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 144 - 108 = 36$

Дискриминант положителен ($D > 0$), значит, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем эти корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-12 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 - 6}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

$x_2 = \frac{-12 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 + 6}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Мы получили два возможных значения для одного из чисел. Теперь необходимо найти соответствующее второе число для каждого случая.

1. Если одно число равно $-9$, то второе число равно $-9 + 12 = 3$. Эта пара чисел ($-9$ и $3$) является первым решением, так как их произведение равно $(-9) \cdot 3 = -27$ и $3$ больше $-9$ на $12$.

2. Если одно число равно $-3$, то второе число равно $-3 + 12 = 9$. Эта пара чисел ($-3$ и $9$) является вторым решением, так как их произведение равно $(-3) \cdot 9 = -27$ и $9$ больше $-3$ на $12$.

Таким образом, задача имеет два независимых решения.

Ответ: искомые числа: $-9$ и $3$, либо $-3$ и $9$. Задача имеет два решения.

3. Длина забора, огораживающего прямоугольный участок земли, равна 110 м. Найдите длину и ширину участка, если известно, что его площадь составляет 750 м². Заполните пропуски и закончите решение задачи.

Решение. Пусть длина участка равна x м, а ширина — y м. Длина забора равна $2(x+y)$, что по условию задачи составляет 110 м. Следовательно, $2(x+y) = 110$. (1)

Площадь участка равна $xy$ м², или 750 м², значит, $xy = 750$. (2)

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её:

$x+y = 55$

$xy = 750$

а) Используя алгебраические преобразования, $x^2 - 55x + 750 = 0$.

$D = (-55)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 750 = 3025 - 3000 = 25$.

$x_1 = \frac{55 + \sqrt{25}}{2} = \frac{55 + 5}{2} = 30$.

$y_1 = 55 - 30 = 25$.

$x_2 = \frac{55 - \sqrt{25}}{2} = \frac{55 - 5}{2} = 25$.

$y_2 = 55 - 25 = 30$.

Ответ: 30 м и 25 м.

Решение. Пусть длина участка равна $x$ м, а ширина — $y$ м. Длина забора равна периметру прямоугольника, то есть $2(x+y)$, что по условию задачи составляет 110 м. Следовательно,

$2(x+y) = 110$ (1)

Площадь участка равна $xy$ м², или 750 м², значит,

$xy = 750$ (2)

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её:

$$ \begin{cases} 2(x+y) = 110, \\ xy = 750. \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим сумму длины и ширины:

$x+y = \frac{110}{2}$

$x+y = 55$

Отсюда выразим $y$ через $x$:

$y = 55 - x$

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$x(55-x) = 750$

Раскроем скобки и получим квадратное уравнение:

$55x - x^2 = 750$

$x^2 - 55x + 750 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-55)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 750 = 3025 - 3000 = 25$

$\sqrt{D} = 5$

Найдём корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{55 + 5}{2} = \frac{60}{2} = 30$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{55 - 5}{2} = \frac{50}{2} = 25$

Теперь найдём соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 30$, то $y_1 = 55 - 30 = 25$.

Если $x_2 = 25$, то $y_2 = 55 - 25 = 30$.

Таким образом, длина и ширина участка составляют 30 м и 25 м.

Ответ: длина участка 30 м, ширина 25 м (или наоборот, ширина 30 м, длина 25 м).