Номер 15, страница 8, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

15. Выясните, каким числом (рациональным или иррациональным) является значение выражения:

а) $ \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{75}} $ .......................;

б) $ (\sqrt{45} - \sqrt{180}) \cdot \sqrt{15} $ .......................;

в) $ (\sqrt{7} + 2)^2 + (2 - \sqrt{7})^2 $ .......................;

г) $ (\sqrt{17} + \sqrt{3})^2 $ .......................

Ответ: а) .......................

б) .......................

в) .......................

г) .......................

а) $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{75}}$

Чтобы определить, является ли значение выражения рациональным или иррациональным, упростим его. Воспользуемся свойством частного корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$:

$\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{75}} = \sqrt{\frac{27}{75}}$

Сократим дробь под знаком корня. И числитель, и знаменатель делятся на 3:

$\frac{27}{75} = \frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 25} = \frac{9}{25}$

Теперь извлечем корень:

$\sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}} = \frac{3}{5}$

Результат $\frac{3}{5}$ является обыкновенной дробью, то есть отношением двух целых чисел. Следовательно, это рациональное число.

Ответ: рациональным

б) $(\sqrt{45} - \sqrt{180}) \cdot \sqrt{15}$

Сначала упростим выражения под корнями в скобках, вынеся множители:

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$

$\sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$

Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$(3\sqrt{5} - 6\sqrt{5}) \cdot \sqrt{15}$

Выполним вычитание в скобках:

$-3\sqrt{5} \cdot \sqrt{15}$

Перемножим корни, используя свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$:

$-3\sqrt{5 \cdot 15} = -3\sqrt{75}$

Упростим полученный корень:

$-3\sqrt{75} = -3\sqrt{25 \cdot 3} = -3 \cdot 5\sqrt{3} = -15\sqrt{3}$

Поскольку $\sqrt{3}$ — иррациональное число, то и произведение $-15\sqrt{3}$ является иррациональным числом.

Ответ: иррациональным

в) $(\sqrt{7} + 2)^2 + (2 - \sqrt{7})^2$

Для раскрытия скобок применим формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Раскроем первую скобку:

$(\sqrt{7} + 2)^2 = (\sqrt{7})^2 + 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 2 + 2^2 = 7 + 4\sqrt{7} + 4 = 11 + 4\sqrt{7}$

Раскроем вторую скобку:

$(2 - \sqrt{7})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = 4 - 4\sqrt{7} + 7 = 11 - 4\sqrt{7}$

Теперь сложим полученные результаты:

$(11 + 4\sqrt{7}) + (11 - 4\sqrt{7}) = 11 + 11 + 4\sqrt{7} - 4\sqrt{7} = 22$

Результат 22 — это целое число, которое является рациональным.

Ответ: рациональным

г) $(\sqrt{17} + \sqrt{3})^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(\sqrt{17} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{17})^2 + 2 \cdot \sqrt{17} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2$

Выполним вычисления:

$17 + 2\sqrt{17 \cdot 3} + 3 = 17 + 2\sqrt{51} + 3$

Сложим рациональные части:

$20 + 2\sqrt{51}$

Число 51 не является полным квадратом, поэтому $\sqrt{51}$ — иррациональное число. Сумма рационального числа (20) и иррационального ($2\sqrt{51}$) также является иррациональным числом.

Ответ: иррациональным