Номер 13, страница 7, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

13. Укажите три значения переменной $x$, при которых число $\sqrt{x}$ является рациональным, и три значения, при которых это число является иррациональным:

при $x = $ ............ $\sqrt{x} = $ ............ – число ............ ;

при $x = $ ............ $\sqrt{x} = $ ............ – число ............ ;

при $x = $ ............ $\sqrt{x} = $ ............ – число ............ ;

при $x = $ ............ $\sqrt{x} = $ ............ – число ............ ;

при $x = $ ............ $\sqrt{x} = $ ............ – число ............ ;

при $x = $ ............ $\sqrt{x} = $ ............ – число ............ ;

Задача состоит в том, чтобы указать три значения переменной $x$, при которых число $\sqrt{x}$ является рациональным, и три значения, при которых это число является иррациональным.

Для начала вспомним основные определения:

• Рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число (например: $5 = \frac{5}{1}$, $0.25 = \frac{1}{4}$).
• Иррациональное число — это вещественное число, которое нельзя представить в виде такой дроби. Его десятичное представление является бесконечным и непериодическим (например: $\pi$, $\sqrt{2}$).

Три значения $x$, при которых $\sqrt{x}$ является рациональным числом

Чтобы число $\sqrt{x}$ было рациональным, подкоренное выражение $x$ должно быть полным квадратом рационального числа. Самый простой способ — выбрать в качестве $x$ числа, которые являются квадратами целых чисел (так называемые точные квадраты).

при x = 4:
$\sqrt{x} = \sqrt{4} = 2$. Число 2 является рациональным, так как его можно записать в виде дроби $\frac{2}{1}$.
Ответ: при $x=4$, $\sqrt{x} = 2$ – число рациональное.

при x = 9:
$\sqrt{x} = \sqrt{9} = 3$. Число 3 является рациональным, так как его можно записать в виде дроби $\frac{3}{1}$.
Ответ: при $x=9$, $\sqrt{x} = 3$ – число рациональное.

при x = 25:
$\sqrt{x} = \sqrt{25} = 5$. Число 5 является рациональным, так как его можно записать в виде дроби $\frac{5}{1}$.
Ответ: при $x=25$, $\sqrt{x} = 5$ – число рациональное.

Три значения $x$, при которых $\sqrt{x}$ является иррациональным числом

Чтобы число $\sqrt{x}$ было иррациональным, положительное число $x$ не должно являться полным квадратом рационального числа. Мы можем выбрать любое положительное целое число, которое не является точным квадратом.

при x = 2:
$\sqrt{x} = \sqrt{2}$. Число 2 не является точным квадратом, поэтому $\sqrt{2}$ — иррациональное число.
Ответ: при $x=2$, $\sqrt{x} = \sqrt{2}$ – число иррациональное.

при x = 3:
$\sqrt{x} = \sqrt{3}$. Число 3 не является точным квадратом, поэтому $\sqrt{3}$ — иррациональное число.
Ответ: при $x=3$, $\sqrt{x} = \sqrt{3}$ – число иррациональное.

при x = 5:
$\sqrt{x} = \sqrt{5}$. Число 5 не является точным квадратом, поэтому $\sqrt{5}$ — иррациональное число.
Ответ: при $x=5$, $\sqrt{x} = \sqrt{5}$ – число иррациональное.