Номер 7, страница 5, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

7. Представьте в виде бесконечной десятичной периодической дроби число:

а) $\frac{2}{9}$

б) $\frac{1}{6}$

в) $\frac{3}{11}$

г) $3\frac{5}{12}$

д) $5\frac{7}{22}$

а) Чтобы представить обыкновенную дробь $\frac{2}{9}$ в виде бесконечной десятичной периодической дроби, необходимо разделить ее числитель на знаменатель. Выполним деление числа 2 на 9 столбиком:

$2 \div 9 = 0,...$
Поскольку 2 меньше 9, целая часть десятичной дроби равна 0. Сносим ноль.
$20 \div 9 = 2$ с остатком $2$.
К остатку 2 снова сносим ноль.
$20 \div 9 = 2$ с остатком $2$.
Процесс деления показывает, что остаток 2 будет повторяться бесконечно, а значит, и цифра 2 в частном тоже будет повторяться. Такая дробь называется чистой периодической.

$\frac{2}{9} = 0,222... = 0,(2)$

Ответ: $0,(2)$

б) Чтобы представить дробь $\frac{1}{6}$ в виде десятичной дроби, разделим 1 на 6:

$1 \div 6 = 0,...$
Целая часть равна 0. Сносим ноль.
$10 \div 6 = 1$ с остатком $4$.
К остатку 4 сносим ноль.
$40 \div 6 = 6$ с остатком $4$.
Так как остаток 4 начал повторяться, цифра 6 в частном будет повторяться бесконечно. В данном случае дробь является смешанной периодической, где цифра 1 не повторяется (предпериод), а цифра 6 повторяется (период).

$\frac{1}{6} = 0,1666... = 0,1(6)$

Ответ: $0,1(6)$

в) Чтобы представить дробь $\frac{3}{11}$ в виде десятичной дроби, разделим 3 на 11:

$3 \div 11 = 0,...$
Целая часть равна 0. Сносим ноль.
$30 \div 11 = 2$ с остатком $8$.
К остатку 8 сносим ноль.
$80 \div 11 = 7$ с остатком $3$.
К остатку 3 сносим ноль, получая 30. Мы видим, что делимое 30 повторилось, значит, остатки и цифры в частном начнут повторяться. Повторяющаяся группа цифр (период) — это 27.

$\frac{3}{11} = 0,2727... = 0,(27)$

Ответ: $0,(27)$

г) Число $3\frac{5}{12}$ является смешанным. Его целая часть равна 3. Чтобы представить это число в виде десятичной дроби, нужно найти десятичное представление его дробной части $\frac{5}{12}$ и прибавить к целой части. Разделим 5 на 12:

$5 \div 12 = 0,...$
Целая часть равна 0. Сносим ноль.
$50 \div 12 = 4$ с остатком $2$.
К остатку 2 сносим ноль.
$20 \div 12 = 1$ с остатком $8$.
К остатку 8 сносим ноль.
$80 \div 12 = 6$ с остатком $8$.
Остаток 8 начал повторяться, значит, цифра 6 будет периодом. Цифры 41 составляют предпериод.

Таким образом, $\frac{5}{12} = 0,41666... = 0,41(6)$.

Тогда $3\frac{5}{12} = 3 + 0,41(6) = 3,41(6)$.

Ответ: $3,41(6)$

д) Число $5\frac{7}{22}$ — смешанное, его целая часть равна 5. Представим дробную часть $\frac{7}{22}$ в виде десятичной дроби, разделив 7 на 22:

$7 \div 22 = 0,...$
Целая часть равна 0. Сносим ноль.
$70 \div 22 = 3$ с остатком $4$.
К остатку 4 сносим ноль.
$40 \div 22 = 1$ с остатком $18$.
К остатку 18 сносим ноль.
$180 \div 22 = 8$ с остатком $4$.
Остаток 4 повторился, следовательно, последовательность цифр в частном начнет повторяться. Периодом будет группа цифр 18, а предпериодом — цифра 3.

Таким образом, $\frac{7}{22} = 0,31818... = 0,3(18)$.

Тогда $5\frac{7}{22} = 5 + 0,3(18) = 5,3(18)$.

Ответ: $5,3(18)$