Номер 4, страница 5, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

4. Среди чисел 1,69; 2,5; 0; -1,8; 1,8; $2\frac{1}{3}$; 2,2; $\pi$; $2\frac{2}{11}$; $1,7(5)$ найдите такие, которые заключены между числами $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$.

.................

.................

.................

.................

Ответ: .......................

Чтобы найти числа, которые заключены между $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$, нужно определить, какие из предложенных чисел $x$ удовлетворяют двойному неравенству $\sqrt{3} < x < \sqrt{5}$.

Наиболее точный способ — сравнение квадратов. Если число $x$ положительное, то неравенство $\sqrt{3} < x < \sqrt{5}$ равносильно неравенству $(\sqrt{3})^2 < x^2 < (\sqrt{5})^2$, то есть $3 < x^2 < 5$.

Для быстрой оценки можно использовать приближенные значения: $\sqrt{3} \approx 1,732$ и $\sqrt{5} \approx 2,236$. Искомые числа должны лежать в интервале $(1,732; 2,236)$.

Проанализируем каждое число из списка.

1,69

Возведем число в квадрат: $1,69^2 = 2,8561$. Так как $2,8561 < 3$, то $1,69 < \sqrt{3}$. Это число не входит в заданный интервал.

Ответ: не подходит.

2,5

Возведем число в квадрат: $2,5^2 = 6,25$. Так как $6,25 > 5$, то $2,5 > \sqrt{5}$. Это число не входит в заданный интервал.

Ответ: не подходит.

0

Это число меньше $\sqrt{3} \approx 1,732$, поэтому оно не входит в интервал.

Ответ: не подходит.

-1,8

Это отрицательное число, а числа в интервале $(\sqrt{3}, \sqrt{5})$ являются положительными. Следовательно, оно не входит в интервал.

Ответ: не подходит.

1,8

Возведем число в квадрат: $1,8^2 = 3,24$. Поскольку выполняется неравенство $3 < 3,24 < 5$, то $\sqrt{3} < 1,8 < \sqrt{5}$. Это число входит в заданный интервал.

Ответ: подходит.

$2\frac{1}{3}$

Переведем в неправильную дробь: $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$. Возведем в квадрат: $(\frac{7}{3})^2 = \frac{49}{9} = 5\frac{4}{9}$. Так как $5\frac{4}{9} > 5$, то $2\frac{1}{3} > \sqrt{5}$. Это число не входит в заданный интервал.

Ответ: не подходит.

2,2

Возведем число в квадрат: $2,2^2 = 4,84$. Поскольку выполняется неравенство $3 < 4,84 < 5$, то $\sqrt{3} < 2,2 < \sqrt{5}$. Это число входит в заданный интервал.

Ответ: подходит.

$\pi$

Приближенное значение $\pi \approx 3,14159$. Это значение очевидно больше, чем $\sqrt{5} \approx 2,236$. Возведем в квадрат: $\pi^2 \approx (3,14159)^2 \approx 9,87$. Так как $9,87 > 5$, то $\pi > \sqrt{5}$. Это число не входит в заданный интервал.

Ответ: не подходит.

$2\frac{2}{11}$

Переведем в неправильную дробь: $2\frac{2}{11} = \frac{24}{11}$. Возведем в квадрат: $(\frac{24}{11})^2 = \frac{576}{121}$. Выполним деление: $576 \div 121 \approx 4,76$. Поскольку выполняется неравенство $3 < 4,76 < 5$, то $\sqrt{3} < 2\frac{2}{11} < \sqrt{5}$. Это число входит в заданный интервал.

Ответ: подходит.

1,7(5)

Переведем периодическую дробь в обыкновенную. Пусть $x = 1,7555...$. Тогда $10x = 17,555...$ и $100x = 175,555...$. Отсюда $90x = 100x - 10x = 158$, и $x = \frac{158}{90} = \frac{79}{45}$. Возведем в квадрат: $(\frac{79}{45})^2 = \frac{6241}{2025}$. Выполним деление: $6241 \div 2025 \approx 3,08$. Поскольку выполняется неравенство $3 < 3,08 < 5$, то $\sqrt{3} < 1,7(5) < \sqrt{5}$. Это число входит в заданный интервал.

Ответ: подходит.

Таким образом, в интервал $(\sqrt{3}, \sqrt{5})$ входят числа: 1,8; 2,2; $2\frac{2}{11}$; 1,7(5).