Номер 5, страница 5, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

5. Каким из множеств $N, Z, Q$ и $R$ принадлежит число (запишите, используя знак $\in$):

а) 45 .................;

б) -51,07 ...........................;

в) 1,63(4) ..........................;

г) $3\pi$ ...................?

Для решения этой задачи необходимо определить, к каким из указанных числовых множеств относится каждое из чисел. Вспомним определения этих множеств:

• $N$ — множество натуральных чисел. Это целые положительные числа, используемые при счете: $\{1, 2, 3, ...\}$.
• $Z$ — множество целых чисел. Оно включает натуральные числа, им противоположные отрицательные числа и ноль: $\{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$.
• $Q$ — множество рациональных чисел. Это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число ($m \in Z$), а $n$ — натуральное число ($n \in N$). К рациональным числам относятся все целые числа, конечные десятичные дроби и бесконечные периодические десятичные дроби.
• $R$ — множество действительных (вещественных) чисел. Оно является объединением множества рациональных чисел и множества иррациональных чисел (бесконечных непериодических десятичных дробей).

Между этими множествами существуют отношения вложенности: $N \subset Z \subset Q \subset R$. Это означает, что любое число, принадлежащее более "узкому" множеству, автоматически принадлежит и всем более "широким".

Число 45 является положительным и целым, следовательно, оно натуральное. Значит, $45 \in N$.

Поскольку $N \subset Z \subset Q \subset R$, число 45 также является целым, рациональным и действительным числом. Его можно представить в виде дроби $\frac{45}{1}$.

Таким образом, число 45 принадлежит всем четырём множествам.

Ответ: $45 \in N, 45 \in Z, 45 \in Q, 45 \in R$.

Число -51,07 является отрицательным и имеет дробную часть, поэтому оно не является ни натуральным ($N$), ни целым ($Z$) числом.

Это число представляет собой конечную десятичную дробь. Любую конечную десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной дроби. В данном случае: $-51,07 = -\frac{5107}{100}$.

Так как число представимо в виде дроби $\frac{m}{n}$ с целым числителем и натуральным знаменателем, оно является рациональным: $-51,07 \in Q$.

Все рациональные числа являются действительными, поэтому $-51,07 \in R$.

Ответ: $-51,07 \in Q, -51,07 \in R$.

Число 1,63(4) — это бесконечная периодическая десятичная дробь, которая равна $1,63444...$. Оно не является ни натуральным, ни целым.

Любая периодическая дробь является рациональным числом, так как может быть представлена в виде обыкновенной дроби. Выполним преобразование:

Пусть $x = 1,63(4)$. Тогда $100x = 163,(4)$ и $1000x = 1634,(4)$.

Вычтем из второго равенства первое: $1000x - 100x = 1634,(4) - 163,(4)$, что дает $900x = 1471$.

Отсюда $x = \frac{1471}{900}$.

Поскольку число представлено в виде дроби, оно рациональное: $1,63(4) \in Q$.

Как и любое рациональное число, оно также является действительным: $1,63(4) \in R$.

Ответ: $1,63(4) \in Q, 1,63(4) \in R$.

Число $\pi$ (пи) — это иррациональное число, то есть его десятичное представление бесконечно и непериодично. Число $3\pi$ — это произведение рационального числа 3 на иррациональное число $\pi$. Произведение ненулевого рационального числа и иррационального числа всегда иррационально.

Следовательно, число $3\pi$ не является ни натуральным ($N$), ни целым ($Z$), ни рациональным ($Q$).

Множество действительных чисел $R$ включает в себя все рациональные и иррациональные числа. Так как $3\pi$ — иррациональное число, оно принадлежит множеству действительных чисел.

Ответ: $3\pi \in R$.