Номер 12, страница 7, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

12. Запишите с помощью знака $\subset$ соотношение между множествами:

а) $N$ и $Z$

б) $N$ и $R$

в) $Q$ и $Z$

г) $N$ и $Q$

Для решения этой задачи необходимо вспомнить определения числовых множеств и что означает знак $\subset$ (является собственным подмножеством). Если множество A является собственным подмножеством множества B, что записывается как $A \subset B$, это значит, что все элементы множества A также являются элементами множества B, но при этом в множестве B есть хотя бы один элемент, который не принадлежит множеству A.

Вспомним определения множеств: $N$ — множество натуральных чисел (числа, используемые для счёта: $\{1, 2, 3, \ldots\}$); $Z$ — множество целых чисел: $\{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}$; $Q$ — множество рациональных чисел (числа, представимые в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m \in Z$, $n \in N$); $R$ — множество действительных (вещественных) чисел (все рациональные и иррациональные числа).

а) N и Z

Множество натуральных чисел $N$ состоит из чисел $1, 2, 3, \ldots$ . Множество целых чисел $Z$ состоит из натуральных чисел, противоположных им чисел и нуля: $\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$ . Любое натуральное число является также и целым числом. Например, число 5 принадлежит как множеству $N$, так и множеству $Z$. Однако, в множестве $Z$ есть числа, которые не являются натуральными, например, $0$ или $-3$. Это означает, что множество $N$ является частью множества $Z$, но не совпадает с ним. Следовательно, $N$ является собственным подмножеством $Z$.

Ответ: $N \subset Z$

б) N и R

Множество натуральных чисел $N$ — это $\{1, 2, 3, \ldots\}$. Множество действительных чисел $R$ включает в себя все числа на числовой прямой. Каждое натуральное число является и действительным. Но в множестве $R$ есть множество других чисел, не являющихся натуральными, например, дроби ($\frac{1}{2}$), отрицательные целые ($-5$) или иррациональные числа ($\sqrt{2}$, $\pi$). Таким образом, множество $N$ полностью входит в состав множества $R$, но не исчерпывает его. Следовательно, $N$ является собственным подмножеством $R$.

Ответ: $N \subset R$

в) Q и Z

Множество рациональных чисел $Q$ включает все числа, которые можно записать в виде дроби. Множество целых чисел $Z$ включает числа $\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$ . Любое целое число $z$ можно представить в виде дроби со знаменателем 1 (например, $4 = \frac{4}{1}$), значит, любое целое число является рациональным. Таким образом, всё множество $Z$ является частью множества $Q$. Однако, в множестве $Q$ есть числа, которые не являются целыми, например, $\frac{1}{2}$ или $-3.14$. Это означает, что множество $Z$ является собственным подмножеством $Q$.

Ответ: $Z \subset Q$

г) N и Q

Множество натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, \ldots\}$. Множество рациональных чисел $Q$ — это числа, которые можно представить в виде дроби. Любое натуральное число $n$ можно записать как дробь $\frac{n}{1}$, поэтому все натуральные числа являются рациональными. При этом в множестве $Q$ есть числа, не являющиеся натуральными, например, $0$, $-7$, $\frac{3}{4}$. Следовательно, множество $N$ является собственным подмножеством множества $Q$.

Ответ: $N \subset Q$