Номер 3, страница 9, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

3. Одно из чисел $\sqrt{41}, \sqrt{47}, \sqrt{53}, \sqrt{62}$ отмечено на координатной прямой точкой А. Какое это число?

1) $\sqrt{41}$; 2) $\sqrt{47}$; 3) $\sqrt{53}$; 4) $\sqrt{62}$.

Ответ:

Чтобы определить, какое из чисел соответствует точке А, необходимо оценить её положение на координатной прямой.

Из рисунка видно, что точка А расположена между целыми числами 7 и 8. Следовательно, искомое число $x$ удовлетворяет неравенству $7 < x < 8$.

Чтобы сравнить иррациональные числа в предложенных вариантах с числами 7 и 8, представим последние в виде квадратных корней: $7 = \sqrt{7^2} = \sqrt{49}$ и $8 = \sqrt{8^2} = \sqrt{64}$.

Таким образом, неравенство для искомого числа можно записать как $\sqrt{49} < x < \sqrt{64}$.

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов:

1) $\sqrt{41}$: Поскольку $41 < 49$, то $\sqrt{41} < \sqrt{49}$, что означает $\sqrt{41} < 7$. Этот вариант не подходит, так как число находится левее 7.

2) $\sqrt{47}$: Поскольку $47 < 49$, то $\sqrt{47} < \sqrt{49}$, что означает $\sqrt{47} < 7$. Этот вариант также не подходит.

3) $\sqrt{53}$: Поскольку $49 < 53 < 64$, то $\sqrt{49} < \sqrt{53} < \sqrt{64}$, что означает $7 < \sqrt{53} < 8$. Этот вариант является возможным решением.

4) $\sqrt{62}$: Поскольку $49 < 62 < 64$, то $\sqrt{49} < \sqrt{62} < \sqrt{64}$, что означает $7 < \sqrt{62} < 8$. Этот вариант также является возможным решением.

Мы получили два подходящих варианта: $\sqrt{53}$ и $\sqrt{62}$. Для окончательного выбора уточним положение точки А. На рисунке точка А находится ближе к 7, чем к 8. Это значит, что она расположена в левой половине отрезка [7, 8].

Найдем середину этого отрезка — число 7,5. Чтобы сравнить с ним наши числа, возведем 7,5 в квадрат: $7,5^2 = 56,25$. Середине отрезка соответствует число $\sqrt{56,25}$.

Поскольку точка А левее середины, искомое число должно быть меньше $\sqrt{56,25}$.

Сравним два оставшихся варианта с числом $\sqrt{56,25}$.

Число $\sqrt{53}$ меньше, чем $\sqrt{56,25}$ (поскольку $53 < 56,25$). Это означает, что $\sqrt{53}$ находится на координатной прямой левее середины отрезка [7, 8], то есть ближе к 7.

Число $\sqrt{62}$ больше, чем $\sqrt{56,25}$ (поскольку $62 > 56,25$). Это означает, что $\sqrt{62}$ находится правее середины отрезка [7, 8], то есть ближе к 8.

Положение точки А на рисунке (ближе к 7) соответствует числу $\sqrt{53}$.

Ответ: $\sqrt{53}$.